《2026年高中必刷题高中数学必修第二册人教版》

【例1】 如图，在梯形 $ ABCD $ 中，$ AB // CD $，且 $ AB = 2CD $，$ M, N $ 分别是 $ DC $ 和 $ AB $ 的中点。若 $ \overrightarrow{AB} = \boldsymbol{a}, \overrightarrow{AD} = \boldsymbol{b} $，试用 $ \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} $ 表示 $ \overrightarrow{MN} $ 和 $ \overrightarrow{BC} $。

答案： 解：在梯形 $ ANMD $ 中，有 $ \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AN} = -\frac{1}{2} \overrightarrow{DC} - \overrightarrow{AD} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{AD} - \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} \right) + \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{AD} + \frac{1}{4} \overrightarrow{AB} = \frac{1}{4} \boldsymbol{a} - \boldsymbol{b} $。
在梯形 $ ABCD $ 中，有 $ \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC} = -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AD} - \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} = \boldsymbol{b} - \frac{1}{2} \boldsymbol{a} $。
【关键技巧】要注意向量加法的三角形法则和平行四边形法则的应用，以及向量间的转化，比如 $ \overrightarrow{AB} $ 可以转化为 $ \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} $ 等。通过线性运算可以减少向量的个数，简化运算。

【例2】 若 $ |\overrightarrow{AB}| = 8, |\overrightarrow{AC}| = 5 $，则 $ |\overrightarrow{BC}| $ 的取值范围是 [3, 13]。

答案： 解析：$ \because |\overrightarrow{BC}| = |\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}|, \therefore ||\overrightarrow{AC}| - |\overrightarrow{AB}|| \leq |\overrightarrow{BC}| \leq |\overrightarrow{AC}| + |\overrightarrow{AB}| $，
$ \therefore 3 \leq |\overrightarrow{BC}| \leq 13 $，即 $ |\overrightarrow{BC}| $ 的取值范围是 $ [3, 13] $。
答案：$ [3, 13] $