《2026年高中必刷题高中数学必修第二册人教版》

【例3】求下列复数的模和辐角的主值。
(1) $ - 1 + i $；(2) $ \sin 40^{\circ} - i\cos 40^{\circ} $。

答案： 解：
(1) $ | - 1 + i | = \sqrt{2} $，又 $ \tan \theta = - 1 $，点 $ (-1,1) $ 在第二象限，$ \therefore \arg(-1 + i) = \frac{3\pi}{4} $。
(2) $ \sin 40^{\circ} - i\cos 40^{\circ} = \cos(270^{\circ} + 40^{\circ}) + i\sin(270^{\circ} + 40^{\circ}) = \cos 310^{\circ} + i\sin 310^{\circ} $，故 $ \sin 40^{\circ} - i\cos 40^{\circ} $ 的模为 1，辐角的主值为 $ 310^{\circ} $。

【例4】计算：$ (-1 + i)\left[ \sqrt{3}\left( \cos \frac{7\pi}{4} + i\sin \frac{7\pi}{4} \right) \right] $（结果用代数形式表示）。

答案： 解：$ (-1 + i)\left[ \sqrt{3}\left( \cos \frac{7\pi}{4} + i\sin \frac{7\pi}{4} \right) \right] $
$ = \sqrt{2}\left( \cos \frac{3\pi}{4} + i\sin \frac{3\pi}{4} \right) · \left[ \sqrt{3}\left( \cos \frac{7\pi}{4} + i\sin \frac{7\pi}{4} \right) \right] $
$ = \sqrt{6}\left[ \cos\left( \frac{3\pi}{4} + \frac{7\pi}{4} \right) + i\sin\left( \frac{3\pi}{4} + \frac{7\pi}{4} \right) \right] = \sqrt{6}\left( \cos \frac{5\pi}{2} + i\sin \frac{5\pi}{2} \right) = \sqrt{6}i $。

【例5】计算：$ i^{3} ÷ \left[ \frac{1}{2}(\cos 120^{\circ} + i\sin 120^{\circ}) \right] $（结果用代数形式表示）。

答案： 解：$ i^{3} ÷ \left[ \frac{1}{2}(\cos 120^{\circ} + i\sin 120^{\circ}) \right] = - i ÷ \left[ \frac{1}{2}(\cos 120^{\circ} + i\sin 120^{\circ}) \right] $
$ = (\cos 270^{\circ} + i\sin 270^{\circ}) ÷ \left[ \frac{1}{2}(\cos 120^{\circ} + i\sin 120^{\circ}) \right] $
$ = 2[\cos(270^{\circ} - 120^{\circ}) + i\sin(270^{\circ} - 120^{\circ})] $
$ = 2(\cos 150^{\circ} + i\sin 150^{\circ}) $
$ = - \sqrt{3} + i $。