《2026年高中必刷题高中数学必修第二册人教版》

例3
如图，已知 $ A(-2,1) $，$ B(1,3) $，求线段 $ AB $ 的中点 $ M $ 和三等分点 $ P,Q $ 的坐标。

答案：
解：方法一（定义法）：设 $ M(x,y) $。$ \because M $ 为线段 $ AB $ 的中点，
$ \therefore x = \frac{-2 + 1}{2} = -\frac{1}{2} $，$ y = \frac{1 + 3}{2} = 2 $，$ \therefore $ 点 $ M $ 的坐标为 $ (-\frac{1}{2},2) $。
设点 $ P $ 的坐标为 $ (x_1,y_1) $。$ \because P $ 为线段 $ AB $ 的三等分点，$ \therefore \overrightarrow{AP} = \frac{1}{2}\overrightarrow{PB} $。
$ \therefore (x_1 + 2,y_1 - 1) = \frac{1}{2}(1 - x_1,3 - y_1) $，
即 $ \begin{cases} x_1 + 2 = \frac{1}{2}(1 - x_1), \\ y_1 - 1 = \frac{1}{2}(3 - y_1), \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} x_1 = -1, \\ y_1 = \frac{5}{3}, \end{cases} $ $ \therefore $ 点 $ P $ 的坐标为 $ (-1,\frac{5}{3}) $。
同理可求得 $ Q(0,\frac{7}{3}) $。
方法二（公式法）：设 $ M(x,y) $，$ P(x_1,y_1) $，$ Q(x_2,y_2) $。
由题可知，$ \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{MB} $，$ \overrightarrow{AP} = \frac{1}{2}\overrightarrow{PB} $，$ \overrightarrow{AQ} = 2\overrightarrow{QB} $，即 $ \lambda_1 = 1 $，$ \lambda_2 = \frac{1}{2} $，$ \lambda_3 = 2 $。
分别代入公式，得 $ \begin{cases} x = \frac{-2 + 1 × 1}{1 + 1} = -\frac{1}{2}, \\ y = \frac{1 + 1 × 3}{1 + 1} = 2, \end{cases} $ $ \begin{cases} x_1 = \frac{-2 + \frac{1}{2} × 1}{1 + \frac{1}{2}} = -1, \\ y_1 = \frac{1 + \frac{1}{2} × 3}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{5}{3}, \end{cases} $ $ \begin{cases} x_2 = \frac{-2 + 2 × 1}{1 + 2} = 0, \\ y_2 = \frac{1 + 2 × 3}{1 + 2} = \frac{7}{3}. \end{cases} $
故点 $ M,P,Q $ 的坐标分别为 $ (-\frac{1}{2},2) $，$ (-1,\frac{5}{3}) $，$ (0,\frac{7}{3}) $。

【例4】 已知向量 $ a = (1,x) $，$ b = (2x + 3,-x)(x \in \mathbf{R}) $。
(1) 若 $ a \perp b $，求 $ x $ 的值；
(2) 若 $ a // b $，求 $ |a - b| $。

答案： 分析：利用 $ a = (x_1,y_1) $，$ b = (x_2,y_2) $，$ a \perp b \Leftrightarrow x_1x_2 + y_1y_2 = 0 $ 及 $ a // b \Leftrightarrow x_1y_2 - x_2y_1 = 0 $ 求解。