《2026年高中必刷题高中数学必修第二册人教版》

【例6】关于 $ t $ 的方程 $ (1 + i)t^2 - 2(a + i)t + 5 - 3i = 0 $ 有实数根，求实数 $ a $ 的值及方程的根.

答案： 解：由题意知方程有实数根，不妨设该实数根为 $ x $，则由复数相等的充要条件，得 $ \begin{cases} x^2 - 2ax + 5 = 0, ① \\ x^2 - 2x - 3 = 0. ② \end{cases} $
由②得 $ x = 3 $ 或 $ x = -1 $.
当 $ x = 3 $ 时，代入①，得 $ a = \frac{7}{3} $；当 $ x = -1 $ 时，代入①，得 $ a = -3 $.
当 $ a = \frac{7}{3} $ 时，方程的一个根为 $ 3 $，设另一个根为 $ x_1 $，由根与系数的关系，得 $ 3x_1 = \frac{5 - 3i}{1 + i} $，所以 $ x_1 = \frac{1}{3} - \frac{4}{3}i $；
当 $ a = -3 $ 时，方程的一个根为 $ -1 $，同理，易得另一个根为 $ -1 + 4i $.
综上可得，当 $ a = \frac{7}{3} $ 时，方程的根为 $ x = 3 $ 或 $ x = \frac{1}{3} - \frac{4}{3}i $；当 $ a = -3 $ 时，方程的根为 $ x = -1 $ 或 $ x = -1 + 4i $.