《2026年高中必刷题高中数学必修第二册人教版》

【例8】 如图，在四边形 $ ABCD $ 中，$ \angle B = 60° $，$ AB = 3 $，$ BC = 6 $，且 $ \overrightarrow{AD} = \lambda\overrightarrow{BC} $，$ \overrightarrow{AD} · \overrightarrow{AB} = -\frac{3}{2} $，则实数 $ \lambda $ 的值为；若 $ M,N $ 是线段 $ BC $ 上的动点，且 $ |\overrightarrow{MN}| = 1 $，则 $ \overrightarrow{DM} · \overrightarrow{DN} $ 的最小值为。

答案：
解析：$ \because \overrightarrow{AD} = \lambda\overrightarrow{BC} $，$ \therefore AD // BC $，$ \therefore \angle BAD = 180° - \angle B = 120° $，
$ \overrightarrow{AD} · \overrightarrow{AB} = \lambda\overrightarrow{BC} · \overrightarrow{AB} = \lambda|\overrightarrow{BC}| · |\overrightarrow{AB}|\cos120° = \lambda × 6 × 3 × (-\frac{1}{2}) = -9\lambda = -\frac{3}{2} $，解得 $ \lambda = \frac{1}{6} $。以点 $ B $ 为坐标原点，$ BC $ 所在直线为 $ x $ 轴建立如图所示的平面直角坐标系 $ xBy $，

$ \because BC = 6 $，$ \therefore C(6,0) $，$ \because AB = 3 $，$ \angle ABC = 60° $，
$ \therefore A(\frac{3}{2},\frac{3\sqrt{3}}{2}) $。又 $ \because \overrightarrow{AD} = \frac{1}{6}\overrightarrow{BC} $，$ \therefore D(\frac{5}{2},\frac{3\sqrt{3}}{2}) $。
设 $ M(x,0) $，则 $ N(x + 1,0) $(其中 $ 0 \leq x \leq 5 $)，
$ \therefore \overrightarrow{DM} = (x - \frac{5}{2},-\frac{3\sqrt{3}}{2}) $，$ \overrightarrow{DN} = (x - \frac{3}{2},-\frac{3\sqrt{3}}{2}) $，
$ \therefore \overrightarrow{DM} · \overrightarrow{DN} = (x - \frac{5}{2})(x - \frac{3}{2}) + (-\frac{3\sqrt{3}}{2})^2 $
$ = x^2 - 4x + \frac{21}{2} = (x - 2)^2 + \frac{13}{2} $，
$ \therefore $ 当 $ x = 2 $ 时，$ \overrightarrow{DM} · \overrightarrow{DN} $ 取得最小值 $ \frac{13}{2} $。
答案：$ \frac{1}{6} $ $ \frac{13}{2} $