《2026年高中必刷题高中数学必修第二册人教版》

【例6】如图，等边三角形 $ ABC $ 的两个顶点 $ A,B $ 所表示的复数分别是 $ \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i $ 和 2，则点 $ C $ 所表示的复数为$ 2 + \sqrt{3}i $。

答案： 解析：$ \because A,B $ 所表示的复数分别是 $ \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i $ 和 2，$ \overrightarrow{AB} $ 所表示的复数为 $ \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i $，把 $ \overrightarrow{AB} $ 绕点 $ A $ 逆时针旋转 $ 60^{\circ} $ 得到 $ \overrightarrow{AC} $，$ \overrightarrow{AC} $ 对应的复数为 $ \left( \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i \right)(\cos 60^{\circ} + i\sin 60^{\circ}) = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i $，由 $ \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AC} $，可得 $ \overrightarrow{OC} $ 对应的复数为 $ \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i + \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i = 2 + \sqrt{3}i $，即点 $ C $ 对应的复数是 $ 2 + \sqrt{3}i $。
答案：$ 2 + \sqrt{3}i $

【例7】在复数范围内解方程 $ x^{6} = 1 $。

答案： 解：令 $ x = r(\cos \theta + i\sin \theta) $，则 $ r^{6}(\cos 6\theta + i\sin 6\theta) = 1 $，所以 $ r^{6} = 1 $，$ 6\theta = 2k\pi(k \in \mathbf{Z}) $，即 $ r = 1 $，$ \theta = \frac{k\pi}{3}(k \in \mathbf{Z}) $，所以 $ x_{1} = \cos 0 + i\sin 0 $，$ x_{2} = \cos \frac{\pi}{3} + i\sin \frac{\pi}{3} $，$ x_{3} = \cos \frac{2\pi}{3} + i\sin \frac{2\pi}{3} $，$ x_{4} = \cos \pi + i\sin \pi $，$ x_{5} = \cos \frac{4\pi}{3} + i\sin \frac{4\pi}{3} $，$ x_{6} = \cos \frac{5\pi}{3} + i\sin \frac{5\pi}{3} $。
即 $ x_{1} = 1 $，$ x_{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i $，$ x_{3} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i $，$ x_{4} = - 1 $，$ x_{5} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i $，$ x_{6} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i $。