《2026年高中必刷题高中数学必修第二册人教版》

【例5】 在 $ \triangle ABC $ 中，已知 $ D $ 是 $ AB $ 边上一点。若 $ \overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{DB}, \overrightarrow{CD} = \frac{1}{3}\overrightarrow{CA} + \lambda \overrightarrow{CB} $，则 $ \lambda = $ $\frac{2}{3}$。

答案： 解析：方法一：由 $ \overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{DB} $，得 $ \overrightarrow{CD} - \overrightarrow{CA} = 2(\overrightarrow{CB} - \overrightarrow{CD}) $，即 $ \overrightarrow{CD} = \frac{1}{3}\overrightarrow{CA} + \frac{2}{3}\overrightarrow{CB} $，所以 $ \lambda = \frac{2}{3} $。
方法二：因为 $ \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{CA} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CA} + \frac{2}{3}(\overrightarrow{CB} - \overrightarrow{CA}) = \frac{1}{3}\overrightarrow{CA} + \frac{2}{3}\overrightarrow{CB} $，所以 $ \lambda = \frac{2}{3} $。
方法三：由 $ D $ 是 $ AB $ 边上一点知，$ A, B, D $ 三点共线。又 $ \overrightarrow{CD} = \frac{1}{3}\overrightarrow{CA} + \lambda \overrightarrow{CB} $，所以 $ \frac{1}{3} + \lambda = 1 $，因此 $ \lambda = \frac{2}{3} $。
答案：$ \frac{2}{3} $
【关键技巧】解答本题的方法一、方法二利用了向量加、减法的运算法则以及数乘向量的运算法则，而方法三则是运用了三点共线公式。

【例6】 已知在 $ \triangle ABC $ 中，$ \overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AC}, |\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}| = 2, M $ 是线段 $ BC $ 上的一点，且 $ \overrightarrow{AM} · (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) = 1 $，则 $ |\overrightarrow{AM}| $ 的取值范围是 。

答案：
解析：过点 $ B $ 作 $ DB \perp AB $，且 $ DB = CA $，连接 $ CD, AD $，设 $ AD $ 与 $ BC $ 交于点 $ O $，如图。
$ \because \overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AC}, \therefore $ 四边形 $ ABDC $ 是矩形，其中 $ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} $。
过点 $ M $ 作直线 $ MN \perp AD $，交 $ AD $ 于点 $ N $，
$ \because \overrightarrow{AM} · (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) = |\overrightarrow{AM}| |\overrightarrow{AD}| \cos \angle MAD = 1 $，
$ |\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}| = |\overrightarrow{CB}| = |\overrightarrow{AD}| = 2 $，
$ \therefore |\overrightarrow{AN}| = |\overrightarrow{AM}| \cos \angle MAD = \frac{1}{2} $，$ M $ 为 $ AO $ 的垂直平分线与 $ BC $ 的交点，
$ \therefore |\overrightarrow{AM}| = \frac{1}{2\cos \angle MAD} $。$ \because 0 ＜ \angle MAD \leq \frac{\pi}{3}, \therefore 1 \leq 2\cos \angle MAD ＜ 2 $，
$ \therefore \frac{1}{2} ＜ |\overrightarrow{AM}| \leq 1 $，故 $ |\overrightarrow{AM}| $ 的取值范围是 $ \left( \frac{1}{2}, 1 \right] $。
答案：$ \left( \frac{1}{2}, 1 \right] $