《2026年高中必刷题高中数学必修第二册人教版》

【例6】 如图，在正三棱柱 $ABC - A_1B_1C_1$ 中，$D$ 为 $AB$ 的中点，$AB = 2$，$AA_1 = 3$。

(1) 求证：平面 $A_1CD\perp$ 平面 $ABB_1A_1$；
(2) 求点 $A$ 到平面 $A_1CD$ 的距离。

答案： 分析：
(1) 根据题意，利用线面垂直，证明面面垂直即可；
(2) 根据题意，利用等体积法 $V_{A_1 - ACD}=V_{A - A_1CD}$，即可计算得到点 $A$ 到平面 $A_1CD$ 的距离。
(1) 证明：在正三棱柱 $ABC - A_1B_1C_1$ 中，$AA_1\perp$ 平面 $ABC$，
又因为 $CD\subset$ 平面 $ABC$，所以 $AA_1\perp CD$。
在正三角形 $ABC$ 中，$D$ 为 $AB$ 的中点，所以 $AB\perp CD$。
又因为 $AA_1\cap AB = A$，$AA_1,AB\subset$ 平面 $ABB_1A_1$，所以 $CD\perp$ 平面 $ABB_1A_1$。
又因为 $CD\subset$ 平面 $A_1CD$，所以平面 $A_1CD\perp$ 平面 $ABB_1A_1$。
(2) 解：由
(1) 可知，$CD\perp$ 平面 $ABB_1A_1$，又因为 $A_1D\subset$ 平面 $ABB_1A_1$，
所以 $CD\perp A_1D$。
在正三角形 $ABC$ 中，$AB = 2$，则 $CD = \sqrt{3}$。
在正三棱柱 $ABC - A_1B_1C_1$ 中，$AA_1\perp$ 平面 $ABC$，
又因为 $AD\subset$ 平面 $ABC$，所以 $AA_1\perp AD$。
又 $AA_1 = 3$，$AD = 1$，所以 $A_1D = \sqrt{10}$。
因为 $V_{A_1 - ACD}=V_{A - A_1CD}$，
所以点 $A$ 到平面 $A_1CD$ 的距离 $h=\frac{\frac{1}{3}S_{\triangle ACD}· AA_1}{\frac{1}{3}S_{\triangle A_1CD}}=\frac{1×\sqrt{3}×3}{\sqrt{3}×\sqrt{10}}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$。