《2026年高中必刷题高中数学必修第二册人教版》

【例5】在 $ \triangle ABC $ 中，内角 $ A,B,C $ 所对的边分别为 $ a,b,c $，且 $ a = 2\sqrt{6} $，$ (a + b)·(\sin A - \sin B) = (c - b)\sin C $。
(1)求角 $ A $ 的大小；
(2)求①。
① $ \triangle ABC $ 面积的最大值；② $ \triangle ABC $ 的内切圆半径的最大值。任选一个作为问题(2)，并给出问题的解答。
注：如果选择两个结论分别解答，按第一个解答计分。

答案： 解：
(1)$ \because (a + b)(\sin A - \sin B) = (c - b)\sin C $，$ \therefore $ 由正弦定理可得 $ (a + b)(a - b) = (c - b)c $，即 $ b^{2}+c^{2}-a^{2} = bc $，$ \therefore \cos A = \frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc} = \frac{1}{2} $。$ \because 0 \lt A \lt \pi $，$ \therefore A = \frac{\pi}{3} $。
(2)若选择①，由于 $ A = \frac{\pi}{3} $，$ a = 2\sqrt{6} $，$ \therefore b^{2}+c^{2}-24 = bc $，$ \therefore 24 = b^{2}+c^{2}-bc \geq 2bc - bc = bc $，即 $ bc \leq 24 $，当且仅当 $ b = c $ 时，等号成立，$ \therefore \triangle ABC $ 的面积为 $ \frac{1}{2}bc\sin A \leq \frac{1}{2}×24×\frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} $，$ \therefore \triangle ABC $ 面积的最大值为 $ 6\sqrt{3} $。
若选择②，设 $ \triangle ABC $ 内切圆的半径为 $ r $，故 $ S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}(a + b + c)r = \frac{1}{2}bc\sin A $，可得 $ (2\sqrt{6}+b + c)· r = \frac{\sqrt{3}}{2}bc $，即 $ r = \frac{\sqrt{3}}{2}·\frac{bc}{2\sqrt{6}+b + c} $。
由 $ b^{2}+c^{2}-24 = bc $，得 $ (b + c)^{2}-24 = 3bc $，代入上式可得 $ r = \frac{\sqrt{3}}{2}·\frac{bc}{2\sqrt{6}+b + c} = \frac{\sqrt{3}}{6}·\frac{(b + c)^{2}-24}{2\sqrt{6}+b + c} = \frac{\sqrt{3}}{6}·\frac{(b + c + 2\sqrt{6})(b + c - 2\sqrt{6})}{b + c + 2\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{3}}{6}(b + c - 2\sqrt{6}) $，由 $ (b + c)^{2}-24 = 3bc \leq \frac{3(b + c)^{2}}{4} $，则 $ \frac{1}{4}(b + c)^{2} \leq 24 $，即 $ (b + c)^{2} \leq 96 $，即 $ b + c \leq 4\sqrt{6} $(当且仅当 $ b = c $ 时，等号成立)，故 $ r \leq \frac{\sqrt{3}}{6}×(4\sqrt{6}-2\sqrt{6}) = \sqrt{2} $，可得 $ \triangle ABC $ 的内切圆半径的最大值为 $ \sqrt{2} $。