《2026年高中必刷题高中数学必修第二册人教版》

例5
如图所示的三棱锥$P - ABC$中，$PA \perp$平面$ABC$，$AB \perp BC$，$PA = AB = BC = 3$，则该三棱锥的外接球的表面积为(分析：将三棱锥补形成正方体，易知该三棱锥的外接球即为正方体的外接球，$PC$为外接球的直径，利用球的表面积公式求解即可。)

A.$\frac{27\pi}{2}$
B.$27\pi$
C.$54\pi$
D.$108\pi$

答案： 分析：将三棱锥补形成正方体，易知该三棱锥的外接球即为正方体的外接球，$PC$为外接球的直径，利用球的表面积公式求解即可。

例6
在正三棱锥$P - ABC$中，$AB = 2\sqrt{3}$，正三棱锥$P - ABC$的体积是$4\sqrt{3}$，则正三棱锥$P - ABC$外接球的体积是分析：根据正三棱锥体积求得锥体高度，利用正弦定理求出底面外接圆的半径，结合勾股定理求得正三棱锥外接球的半径，即可求得其体积。。

答案： 分析：根据正三棱锥体积求得锥体高度，利用正弦定理求出底面外接圆的半径，结合勾股定理求得正三棱锥外接球的半径，即可求得其体积。