《2026年高中必刷题高中数学必修第二册人教版》

问题1 复数的辐角有多少个？辐角的主值有多少个？它们之间有什么关系？

答案： 提示 任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值；在 $[0,2\pi)$ 内的辐角的值称为该复数的辐角的主值，只有一个；辐角与辐角的主值相差 $ 2\pi $ 的整数倍。例如，复数 $ i $ 的辐角是 $ \frac{\pi}{2} + 2k\pi(k \in \mathbf{Z}) $，辐角的主值是 $ \frac{\pi}{2} $，它们相差 $ 2k\pi(k \in \mathbf{Z}) $。

问题2 复数 0 有三角形式吗？

答案： 提示 复数 0 的三角形式为 $ 0 = 0(\cos \theta + i\sin \theta) $，其中 $ \theta $ 是任意的。因为复数 0 对应着零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数 0 的辐角是任意的，不讨论其辐角主值。

问题3 如何判断两个三角形式表示的复数相等？

答案： 提示 两个三角形式表示的复数相等的充要条件为它们的模与辐角的主值分别相等。
设复数 $ z_{1} = r_{1}(\cos \theta_{1} + i\sin \theta_{1}) $，$ z_{2} = r_{2}(\cos \theta_{2} + i\sin \theta_{2}) $，$ \theta_{1},\theta_{2} \in [0,2\pi) $，$ z_{1} = z_{2} \Leftrightarrow r_{1} = r_{2} $，$ \theta_{1} = \theta_{2} $。

问题4 两个互为共轭复数的三角形式之间有什么关系？

答案： 提示 对于 $ z = r(\cos \alpha + i\sin \alpha) $，其中 $ r\sin \alpha \neq 0 $，$ \arg z = \alpha $，那么 $ \overline{z} = r(\cos \alpha - i\sin \alpha) = r[\cos(2\pi - \alpha) + i\sin(2\pi - \alpha)] $，从而这两个复数的模相等，辐角的主值之和为 $ 2\pi $，即 $ \arg \overline{z} = 2\pi - \alpha $，$ \arg z + \arg \overline{z} = 2\pi $。