《2026年高中必刷题高中数学必修第二册人教版》

【例1】 在三棱锥 $A - BCD$ 中，$AB = CD$，$M,N$ 分别为棱 $BD,AC$ 的中点。

(1) 若直线 $AB$ 与 $MN$ 所成的角为 $60^{\circ}$，求异面直线 $AB$ 与 $CD$ 所成的角的大小；
(2) 若直线 $AB$ 与 $CD$ 所成的角为 $\theta$，求异面直线 $AB$ 与 $MN$ 所成的角的大小。

答案：
解：如图，取 $AD$ 的中点 $P$，连接 $PM,PN$。
因为 $M,N$ 分别为棱 $BD,AC$ 的中点，
所以 $PM// AB,PN// CD$，且 $PM=\frac{1}{2}AB,PN=\frac{1}{2}CD$，
则 $\angle MPN$ 即是异面直线 $AB$ 与 $CD$ 所成的角或其补角，$\angle PMN$ 为直线 $AB$ 与 $MN$ 所成的角或其补角。
又 $AB = CD$，所以 $PM = PN$，即 $\triangle PMN$ 为等腰三角形。
(1) 因为 $\triangle PMN$ 为等腰三角形，直线 $AB$ 与 $MN$ 所成的角为 $60^{\circ}$，所以 $\angle PMN = 60^{\circ}$，

所以 $\triangle PMN$ 为等边三角形，所以 $\angle MPN = 60^{\circ}$，
所以异面直线 $AB$ 与 $CD$ 所成的角的大小为 $60^{\circ}$。
(2) 若直线 $AB$ 与 $CD$ 所成的角为 $\theta$，则 $\angle MPN=\theta$ 或 $\angle MPN = 180^{\circ}-\theta$。
当 $\angle MPN=\theta$ 时，则 $\angle PMN=\frac{180^{\circ}-\angle MPN}{2}=\frac{180^{\circ}-\theta}{2}$，
即直线 $AB$ 与 $MN$ 所成的角的大小为 $\frac{180^{\circ}-\theta}{2}$；
当 $\angle MPN = 180^{\circ}-\theta$ 时，则 $\angle PMN=\frac{180^{\circ}-\angle MPN}{2}=\frac{\theta}{2}$，
即直线 $AB$ 与 $MN$ 所成的角的大小为 $\frac{\theta}{2}$。
综上，直线 $AB$ 与 $MN$ 所成角的大小为 $\frac{180^{\circ}-\theta}{2}$ 或 $\frac{\theta}{2}$。