《2026年高中必刷题高中数学必修第二册人教版》

【例3】位于某海域 $ A $ 处的甲船，在其正东方向 $ 20 $ n mile 的 $ B $ 处有一艘船遇险后抛锚等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知位于甲船南偏西 $ 30^{\circ} $ 且与甲船相距 $ 10(\sqrt{3}-1) $ n mile 的 $ C $ 处的乙船，那么乙船前往营救遇险船时的目标方向线（由观测点看目标视线）的方向是北偏东多少度？需要航行的距离是多少海里？

答案：

在△ABC中，A为甲船位置，B为遇险船位置，C为乙船位置。已知AB=20n mile，AC=10(√3-1)n mile，∠BAC=120°（A处正东与南偏西30°夹角）。
1. 由余弦定理求BC：
BC²=AB²+AC²-2·AB·AC·cos∠BAC
=20²+[10(√3-1)]²-2×20×10(√3-1)×cos120°
=400+100(4-2√3)+200(√3-1)
=600
∴BC=10√6n mile。
2. 由正弦定理求∠ACB：
AB/sin∠ACB=BC/sin∠BAC
20/sinC=10√6/sin120°
sinC=20×(√3/2)/(10√6)=√2/2
∵∠BAC=120°，
∴∠ACB=45°。
3. 乙船方向：北偏东30°+45°=75°。
答：目标方向线为北偏东75°，航行距离10√6n mile。

【例4】如图，在海岸 $ A $ 处发现北偏东 $ 45^{\circ} $ 方向、距 $ A $ 处 $ (\sqrt{3}-1) $ 海里的 $ B $ 处有一艘走私船，在 $ A $ 处北偏西 $ 75^{\circ} $ 方向、距 $ A $ 处 $ 2 $ 海里的 $ C $ 处的我方缉私船，奉命以 $ 10\sqrt{3} $ 海里/时的速度追截走私船，此时走私船正以 $ 10 $ 海里/时的速度，从 $ B $ 处向北偏东 $ 30^{\circ} $ 方向逃窜，问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间。

答案： 解：设缉私船应沿 $ CD $ 方向行驶 $ t $ 小时，才能最快截获（在 $ D $ 点）走私船，则 $ CD = 10\sqrt{3}t $，$ BD = 10t $。
在 $ \triangle ABC $ 中，$ \because \angle BAC = 45^{\circ}+75^{\circ} = 120^{\circ} $，$ \therefore $ 由余弦定理得 $ BC^{2} = AB^{2}+AC^{2}-2AB· AC·\cos\angle BAC = (\sqrt{3}-1)^{2}+2^{2}-2×(\sqrt{3}-1)×2×\cos120^{\circ} = 6 $，$ \therefore BC = \sqrt{6} $。
$ \because \frac{BC}{\sin\angle BAC} = \frac{AC}{\sin\angle ABC} $，$ \therefore \sin\angle ABC = \frac{AC·\sin\angle BAC}{BC} = \frac{2×\sin120^{\circ}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $，$ \therefore \angle ABC = 45^{\circ} $，$ \therefore $ 点 $ B $ 在点 $ C $ 的正东方向上，$ \therefore \angle CBD = 90^{\circ}+30^{\circ} = 120^{\circ} $。
在 $ \triangle BCD $ 中，由正弦定理得 $ \frac{BD}{\sin\angle BCD} = \frac{CD}{\sin\angle CBD} $，$ \therefore \sin\angle BCD = \frac{BD·\sin\angle CBD}{CD} = \frac{10t·\sin120^{\circ}}{10\sqrt{3}t} = \frac{1}{2} $，又 $ 0^{\circ} \lt \angle BCD \lt 60^{\circ} $，$ \therefore \angle BCD = 30^{\circ} $。
由 $ \angle CBD = 120^{\circ} $，$ \angle BCD = 30^{\circ} $，得 $ D = 30^{\circ} $，$ \therefore BD = BC $，即 $ 10t = \sqrt{6} $，$ \therefore t = \frac{\sqrt{6}}{10} $。
故缉私船沿北偏东 $ 60^{\circ} $ 方向行驶，才能最快截获走私船，且所需时间为 $ \frac{\sqrt{6}}{10} $ 小时。