《2026年高中必刷题高中数学必修第二册人教版》

【例1】化下列复数为三角形式。
(1) $ -1 + \sqrt{3}i $；(2) $ 2i $；(3) $ -1 $。

答案： 解：
(1) $ | - 1 + \sqrt{3}i | = \sqrt{(-1)^{2} + (\sqrt{3})^{2}} = 2 $，$ \tan \theta = - \sqrt{3} $，点 $ (-1,\sqrt{3}) $ 在第二象限，辐角的主值为 $ \frac{2\pi}{3} $，$ \therefore - 1 + \sqrt{3}i = 2\left( \cos \frac{2\pi}{3} + i\sin \frac{2\pi}{3} \right) $。
(2) $ |2i| = 2 $，辐角的主值为 $ \frac{\pi}{2} $，故 $ 2i = 2\left( \cos \frac{\pi}{2} + i\sin \frac{\pi}{2} \right) $。
(3) $ | - 1| = 1 $，辐角的主值为 $ \pi $，故 $ - 1 = \cos \pi + i\sin \pi $。

【例2】将复数 $ z = 1 + \cos \theta + i\sin \theta(\pi ＜ \theta ＜ 2\pi) $ 表示成三角形式。

答案： 解：$ z = 1 + \cos \theta + i\sin \theta = 1 + \left( 2\cos^{2} \frac{\theta}{2} - 1 \right) + 2i · \sin \frac{\theta}{2}\cos \frac{\theta}{2} = 2\cos \frac{\theta}{2}\left( \cos \frac{\theta}{2} + i\sin \frac{\theta}{2} \right) $。
$ \because \pi ＜ \theta ＜ 2\pi $，$ \therefore \frac{\pi}{2} ＜ \frac{\theta}{2} ＜ \pi $，$ \therefore \cos \frac{\theta}{2} ＜ 0 $，$ \therefore z = - 2\cos \frac{\theta}{2}\left( - \cos \frac{\theta}{2} - i\sin \frac{\theta}{2} \right) = - 2\cos \frac{\theta}{2}\left[ \cos\left( \pi + \frac{\theta}{2} \right) + i\sin\left( \pi + \frac{\theta}{2} \right) \right] $。
【关键技巧】式子中含有 1，需要利用倍角公式消去 1，再转化为复数三角形式。