《2026年高中必刷题高中数学必修第二册人教版》

问题3
已知两个非零共线向量 $ \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} $，其差 $ \boldsymbol{a} - \boldsymbol{b} $ 的方向如何？

答案： 提示
(1) 若 $ \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} $ 反向，则 $ \boldsymbol{a} - \boldsymbol{b} $ 与 $ \boldsymbol{a} $ 同向，且 $ |\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}| = |\boldsymbol{a}| + |\boldsymbol{b}| $；
(2) 若 $ \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} $ 同向，① 当 $ |\boldsymbol{a}| ＞ |\boldsymbol{b}| $ 时，则 $ \boldsymbol{a} - \boldsymbol{b} $ 与 $ \boldsymbol{a} $ 同向，且 $ |\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}| = |\boldsymbol{a}| - |\boldsymbol{b}| $；② 当 $ |\boldsymbol{a}| ＜ |\boldsymbol{b}| $ 时，则 $ \boldsymbol{a} - \boldsymbol{b} $ 与 $ \boldsymbol{a} $ 反向，且 $ |\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}| = |\boldsymbol{b}| - |\boldsymbol{a}| $；③ 当 $ |\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}| $ 时，则 $ \boldsymbol{a} - \boldsymbol{b} = \boldsymbol{0} $，方向任意。

问题4
如何理解向量数乘的定义？

答案： 提示
(1) 从代数角度来看，① $ \lambda $ 是实数，$ \boldsymbol{a} $ 是向量，它们的积仍然是向量；② $ \lambda \boldsymbol{a} = \boldsymbol{0} $ 的条件是 $ \boldsymbol{a} = \boldsymbol{0} $ 或 $ \lambda = 0 $；③ $ \lambda \boldsymbol{a} = \lambda \boldsymbol{b} $，则 $ \lambda = 0 $ 或 $ \boldsymbol{a} = \boldsymbol{b} $。
(2) 从几何角度来看，$ \lambda $ 的符号决定 $ \lambda \boldsymbol{a} $ 的方向与 $ \boldsymbol{a} $ 相同还是相反，$ |\lambda| $ 决定 $ \lambda \boldsymbol{a} $ 的长度。若 $ \boldsymbol{a} \neq \boldsymbol{0} $，① 当 $ |\lambda| ＞ 1 $ 时，有 $ |\lambda \boldsymbol{a}| ＞ |\boldsymbol{a}| $，这意味着表示向量 $ \boldsymbol{a} $ 的有向线段在原方向 $ (\lambda ＞ 1) $ 或反方向 $ (\lambda ＜ -1) $ 上伸长到原来的 $ |\lambda| $ 倍；② 当 $ 0 ＜ |\lambda| ＜ 1 $ 时，有 $ |\lambda \boldsymbol{a}| ＜ |\boldsymbol{a}| $，这意味着表示向量 $ \boldsymbol{a} $ 的有向线段在原方向 $ (0 ＜ \lambda ＜ 1) $ 或反方向 $ (-1 ＜ \lambda ＜ 0) $ 上缩短到原来的 $ |\lambda| $。

问题5
向量 $ \boldsymbol{a} (\boldsymbol{a} \neq \boldsymbol{0}) $ 与 $ \boldsymbol{b} $ 共线的充要条件是：存在唯一一个实数 $ \lambda $，使 $ \boldsymbol{b} = \lambda \boldsymbol{a} $。定理中为什么规定 $ \boldsymbol{a} \neq \boldsymbol{0} $？

答案： 提示 若 $ \boldsymbol{a} = \boldsymbol{b} = \boldsymbol{0} $，实数 $ \lambda $ 仍然存在，但 $ \lambda $ 可以是任意实数，不唯一；若 $ \boldsymbol{a} = \boldsymbol{0}, \boldsymbol{b} \neq \boldsymbol{0} $，则不存在实数 $ \lambda $，使 $ \boldsymbol{b} = \lambda \boldsymbol{a} $，但 $ \boldsymbol{a} $ 与 $ \boldsymbol{b} $ 仍然共线。

问题6
根据向量共线定理，对于非零向量 $ \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} $，如何确定实数 $ \lambda $，使得 $ \boldsymbol{b} = \lambda \boldsymbol{a} $？

答案： 提示
(1) 确定符号，$ \boldsymbol{a} $ 与 $ \boldsymbol{b} $ 同向时，$ \lambda $ 为正；$ \boldsymbol{a} $ 与 $ \boldsymbol{b} $ 反向时，$ \lambda $ 为负。
(2) 确定 $ \lambda $ 的绝对值，$ |\lambda| = \frac{|\boldsymbol{b}|}{|\boldsymbol{a}|} $。

问题7
向量的数量积与数乘有什么区别？

答案：
提示
(1) 两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由 $ \cos \theta $ 的符号决定；数乘运算的结果还是一个向量。
(2) 两个向量的数量积也叫做内积，记作 $ \boldsymbol{a} · \boldsymbol{b} $，两个向量的外积记作 $ \boldsymbol{a} × \boldsymbol{b} $，书写时要严格区分。符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替。
(3) 在实数中，若 $ a \neq 0 $，且 $ ab = 0 $，则 $ b = 0 $；但是在向量中，若 $ \boldsymbol{a} \neq \boldsymbol{0} $，且 $ \boldsymbol{a} · \boldsymbol{b} = 0 $，不能推出 $ \boldsymbol{b} = \boldsymbol{0} $，因为其中 $ \theta (\theta 为向量 \boldsymbol{a} 与 \boldsymbol{b} 的夹角) 有可能为 \frac{\pi}{2} $。
(4) 已知实数 $ a, b, c (b \neq 0) $，则 $ ab = bc \Rightarrow a = c $，但是在向量中，由 $ \boldsymbol{a} · \boldsymbol{b} = \boldsymbol{b} · \boldsymbol{c} (b \neq 0) $ 不一定能得到 $ \boldsymbol{a} = \boldsymbol{c} $。$ \boldsymbol{a} · \boldsymbol{b} = \boldsymbol{b} · \boldsymbol{c} \Rightarrow \boldsymbol{b} = \boldsymbol{0} $ 或 $ \boldsymbol{a} = \boldsymbol{c} $ 或 $ \langle \boldsymbol{b}, \boldsymbol{a} - \boldsymbol{c} \rangle = \frac{\pi}{2} $。
如图，$ \boldsymbol{a} · \boldsymbol{b} = |\boldsymbol{a}| |\boldsymbol{b}| \cos \beta = |\boldsymbol{b}| · OA, \boldsymbol{b} · \boldsymbol{c} = |\boldsymbol{b}| |\boldsymbol{c}| \cos \alpha = |\boldsymbol{b}| · OA $，所以有 $ \boldsymbol{a} · \boldsymbol{b} = \boldsymbol{b} · \boldsymbol{c} $，但 $ \boldsymbol{a} \neq \boldsymbol{c} $，即向量是不可以约分的。