《2026年高中必刷题高中数学必修第二册人教版》

例1 如图，在正方体$ABCD - A_1B_1C_1D_1$中，$E$，$F$分别为$CD_1$，$AB$的中点。求证：$EF//$平面$ADD_1A_1$。

证明：方法一：如图①，取$DD_1$的中点$M$，连接$AM$，$ME$。
在$△D_1DC$中，因为$M$，$E$分别为$DD_1$，$D_1C$的中点，
所以$ME//DC$且$ME = \frac{1}{2}DC$。
又$AF//DC$且$AF = \frac{1}{2}DC$，所以$ME//AF$且$ME = AF$，
所以四边形$MEFA$为平行四边形，则有$AM//EF$。
又$EF⊄$平面$ADD_1A_1$，$AM⊂$平面$ADD_1A_1$，
所以$EF//$平面$ADD_1A_1$。
方法二：如图②，连接$CF$并延长与$DA$延长线交于$G$，连接$D_1G$。
因为$F$为$AB$的中点，$AB//CD$，所以$AF//CD$，$AF = \frac{1}{2}CD$，所以$AF$为$△CDG$的中位线，所以$F$为$CG$的中点。
因为$E$为$CD_1$的中点，所以$EF//D_1G$。因为$EF⊄$平面$ADD_1A_1$，$D_1G⊂$平面$ADD_1A_1$，所以$EF//$平面$ADD_1A_1$。
方法三：如图③，取$D_1C_1$，$DC$的中点分别为$M$，$N$，
连接$MF$，$MN$，$FN$，则$MN$过点$E$，所以$EF⊂$平面$MNF$。
由$MN//DD_1$，$NF//DA$，$MN∩NF = N$，$DD_1∩DA = D$，$MN$，$NF⊂$平面$MNF$，$DD_1$，$DA⊂$平面$ADD_1A_1$，
所以平面$MNF//$平面$ADD_1A_1$。
因为$EF⊂$平面$MNF$，所以$EF//$平面$ADD_1A_1$。

答案： 证明：方法一：取$DD_1$的中点$M$，连接$AM$，$ME$。
在$\triangle D_1DC$中，$M$，$E$分别为$DD_1$，$D_1C$的中点，
$\therefore ME// DC$且$ME=\frac{1}{2}DC$。
$\because F$为$AB$的中点，$AB// DC$且$AB=DC$，
$\therefore AF// DC$且$AF=\frac{1}{2}DC$，
$\therefore ME// AF$且$ME=AF$，
$\therefore$四边形$MEFA$为平行四边形，$\therefore AM// EF$。
$\because EF\not\subset$平面$ADD_1A_1$，$AM\subset$平面$ADD_1A_1$，
$\therefore EF//$平面$ADD_1A_1$。
方法二：连接$CF$并延长与$DA$延长线交于$G$，连接$D_1G$。
$\because F$为$AB$的中点，$AB// CD$，
$\therefore AF// CD$，$AF=\frac{1}{2}CD$，
$\therefore AF$为$\triangle CDG$的中位线，$\therefore F$为$CG$的中点。
$\because E$为$CD_1$的中点，$\therefore EF// D_1G$。
$\because EF\not\subset$平面$ADD_1A_1$，$D_1G\subset$平面$ADD_1A_1$，
$\therefore EF//$平面$ADD_1A_1$。
方法三：取$D_1C_1$，$DC$的中点分别为$M$，$N$，连接$MF$，$MN$，$FN$，则$MN$过点$E$，$\therefore EF\subset$平面$MNF$。
$\because MN// DD_1$，$NF// DA$，$MN\cap NF=N$，$DD_1\cap DA=D$，
$MN$，$NF\subset$平面$MNF$，$DD_1$，$DA\subset$平面$ADD_1A_1$，
$\therefore$平面$MNF//$平面$ADD_1A_1$。
$\because EF\subset$平面$MNF$，$\therefore EF//$平面$ADD_1A_1$。

例2 如图，在空间四边形$ABCD$中，$M$，$N$分别是线段$AB$，$AD$（不包括端点）上的点，且$\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{ND}$，$P$为线段$CD$上的一点（不包括端点），过点$M$，$N$，$P$的平面与直线$BC$交于点$Q$，求证：$BD//PQ$。
证明：$\because \frac{AM}{MB} = \frac{AN}{ND}$，$\therefore MN//BD$。
又$\because BD⊄$平面$MNPQ$，$MN⊂$平面$MNPQ$，
$\therefore BD//$平面$MNPQ$。
又$\because BD⊂$平面$BCD$，
平面$MNPQ∩$平面$BCD = PQ$，
$\therefore BD//PQ$。

答案： 证明：
∵$\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{ND}$，
∴$MN // BD$。
∵$BD \not\subset$平面$MNPQ$，$MN \subset$平面$MNPQ$，
∴$BD //$平面$MNPQ$。
∵$BD \subset$平面$BCD$，平面$MNPQ \cap$平面$BCD = PQ$，
∴$BD // PQ$。