《2026年高中必刷题高中数学必修第二册人教版》

问题1 数集因生产和科学发展的需要经过了怎样逐步扩充的过程？

答案：
提示 数集的不断扩充是解决“数不够用”问题的一个过程.

类比自然数集逐步扩充到实数集的过程，可将实数集扩充到复数集.

问题2 两个复数能否比较大小？ 为什么？

答案： 提示 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小. 如果两个复数都是实数，那么就可以比较大小；如果两个复数不全是实数，那么不能比较大小. 因为若两个复数可以比较大小，如 $ 0 $ 与 $ i $，由复数相等的定义知 $ 0\neq i $，则必有 $ 0 ＜ i $ 或 $ 0 ＞ i $，这两种情况中有且只有一种成立. 若 $ 0 ＜ i \Rightarrow 0· i ＜ i^{2} \Rightarrow 0 ＜ -1 $，这与 $ 0 ＞ -1 $ 矛盾；若 $ 0 ＞ i \Rightarrow (-i) + 0 ＞ i + (-i) \Rightarrow (-i)^{2} ＞ 0 \Rightarrow -1 ＞ 0 $，这与 $ 0 ＞ -1 $ 矛盾，所以复数不能比较大小. 但是两个复数的模能比较大小.

【例 1】 $ m\in \mathbf{R} $，复数 $ z = \frac{m^{2} - m - 6}{m + 3} + (m^{2} - 2m - 15)i $. 求 $ m $ 取何值时，
(1) $ z $ 是实数；(2) $ z $ 是纯虚数.

答案：
解：
(1) 当 $ \begin{cases} m^{2} - 2m - 15 = 0, \\ m + 3\neq 0, \end{cases} $ 即 $ \begin{cases} m = 5或m = -3, \\ m\neq -3 \end{cases} $ 时，$ z $ 是实数，
$ \therefore $ 当 $ m = 5 $ 时，$ z $ 是实数.
(2) 当 $ \begin{cases} m^{2} - m - 6 = 0, \\ m + 3\neq 0, \\ m^{2} - 2m - 15\neq 0, \end{cases} $ 即 $ \begin{cases} m = 3或m = -2, \\ m\neq -3, \\ m\neq 5且m\neq -3 \end{cases} $ 时，$ z $ 是纯虚数，
$ \therefore $ 当 $ m = 3 $ 或 $ m = -2 $ 时，$ z $ 是纯虚数.