《2026年高中必刷题高中数学必修第二册人教版》

【例4】在$\triangle ABC$中，内角$A$，$B$，$C$的对边分别为$a$，$b$，$c$，已知$a^{2}+c^{2}=b^{2}+\dfrac{3}{2}ac$.
(1) 求$\cos B$的值；
(2) 若$\overrightarrow{BA}·\overrightarrow{BC}=\dfrac{3}{2}$，$b^{2}=ac$，求$\triangle ABC$的周长.

答案： 解：
(1) 由已知得$a^{2}+c^{2}-b^{2}=\dfrac{3}{2}ac$，所以结合余弦定理得$\cos B=\dfrac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}=\dfrac{3}{4}$.
(2) 由$\overrightarrow{BA}·\overrightarrow{BC}=ac\cos B=\dfrac{3}{4}ac=\dfrac{3}{2}$，解得$ac=2$，所以$b^{2}=ac=2$，$b=\sqrt{2}$，
由余弦定理知$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos B$，于是$2=(a+c)^{2}-2ac-2ac\cos B=(a+c)^{2}-7$，解得$a+c=3$，
故$\triangle ABC$的周长为$3+\sqrt{2}$.
【关键技巧】当已知三角形三边或三边所满足的关系式时，可选用余弦定理的推论解题，即$\cos A=\dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$，$\cos B=\dfrac{c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2ca}$，$\cos C=\dfrac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}$.

【例5】在$\triangle ABC$中，内角$A$，$B$，$C$所对的边分别为$a$，$b$，$c$. 已知$a=7$，$b=8$，$\cos A=\dfrac{1}{2}$，求最大角的余弦值.

答案： 分析：要判断出哪个角是最大角，需要求出$c$. 判断出三角形的最大边后，进而判断出最大角，并求其余弦值.