《2026年高中必刷题高中数学必修第二册人教版》

【例5】 点 $ O,P,M $ 在 $ \triangle ABC $ 所在平面内，且分别满足 $ \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = 0 $，$ |\overrightarrow{PA}| = |\overrightarrow{PB}| = |\overrightarrow{PC}| $，$ \overrightarrow{MA} · \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MB} · \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MC} · \overrightarrow{MA} $，则点 $ O,P,M $ 依次是 $ \triangle ABC $ 的(B)

A.重心，外心，内心
B.重心，外心，垂心
C.外心，重心，垂心
D.外心，垂心，内心

答案： 解析：$ \because \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = 0 $，$ \therefore \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = -\overrightarrow{OC} $。取 $ AB $ 的中点 $ D $，$ \therefore \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = 2\overrightarrow{OD} $，$ \therefore \overrightarrow{OC} = -2\overrightarrow{OD} $，$ \therefore C,O,D $ 三点共线，即 $ O $ 为 $ \triangle ABC $ 的中线 $ CD $ 上的点，且 $ OC = 2OD $，$ \therefore O $ 为 $ \triangle ABC $ 的重心。$ \because |\overrightarrow{PA}| = |\overrightarrow{PB}| = |\overrightarrow{PC}| $，$ \therefore PA = PB = PC $，故 $ P $ 为 $ \triangle ABC $ 的外心。$ \because \overrightarrow{MA} · \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{MB} · \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MC} · \overrightarrow{MA} $，$ \therefore \overrightarrow{MB} · (\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MC}) = 0 $，即 $ \overrightarrow{MB} · \overrightarrow{CA} = 0 $，$ \therefore MB \perp AC $。同理可得 $ MA \perp BC $，$ MC \perp AB $，$ \therefore M $ 为 $ \triangle ABC $ 的垂心。故选 B。
答案：B