《2026年高中必刷题高中数学必修第二册人教版》

【例3】 已知 $ |\boldsymbol{a}| = 4, |\boldsymbol{b}| = 3, (2\boldsymbol{a} - 3\boldsymbol{b}) · (2\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) = 61 $。求：
(1) $ \boldsymbol{a} $ 与 $ \boldsymbol{b} $ 的夹角 $ \theta $；
(2) $ |\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}| $ 和 $ |\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}| $。

答案： 解：
(1) 由 $ (2\boldsymbol{a} - 3\boldsymbol{b}) · (2\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) = 61, |\boldsymbol{a}| = 4, |\boldsymbol{b}| = 3 $，解得 $ \boldsymbol{a} · \boldsymbol{b} = -6 $。
$ \therefore \cos \theta = \frac{\boldsymbol{a} · \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}| |\boldsymbol{b}|} = \frac{-6}{4 × 3} = -\frac{1}{2} $。又 $ \because 0 \leq \theta \leq \pi, \therefore \theta = \frac{2\pi}{3} $。
(2) $ |\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}|^2 = \boldsymbol{a}^2 + 2\boldsymbol{a} · \boldsymbol{b} + \boldsymbol{b}^2 = 13, \therefore |\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}| = \sqrt{13} $。
$ |\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}|^2 = \boldsymbol{a}^2 - 2\boldsymbol{a} · \boldsymbol{b} + \boldsymbol{b}^2 = 37, \therefore |\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}| = \sqrt{37} $。

【例4】 已知非零向量 $ \boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2 $ 不共线。
(1) 如果 $ \overrightarrow{AB} = \boldsymbol{e}_1 + \boldsymbol{e}_2, \overrightarrow{BC} = 2\boldsymbol{e}_1 + 8\boldsymbol{e}_2, \overrightarrow{CD} = 3(\boldsymbol{e}_1 - \boldsymbol{e}_2) $，求证：$ A, B, D $ 三点共线；
(2) 欲使 $ k\boldsymbol{e}_1 + \boldsymbol{e}_2 $ 和 $ \boldsymbol{e}_1 + k\boldsymbol{e}_2 $ 共线，试确定实数 $ k $ 的值。

答案：
(1) 证明：
$\because \overrightarrow{AB} = \boldsymbol{e}_1 + \boldsymbol{e}_2$，
$\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} = (2\boldsymbol{e}_1 + 8\boldsymbol{e}_2) + 3(\boldsymbol{e}_1 - \boldsymbol{e}_2) = 5\boldsymbol{e}_1 + 5\boldsymbol{e}_2 = 5(\boldsymbol{e}_1 + \boldsymbol{e}_2) = 5\overrightarrow{AB}$，
$\therefore \overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{BD}$ 共线，且有公共点 $B$，
$\therefore A, B, D$ 三点共线。
(2) 解：
$\because k\boldsymbol{e}_1 + \boldsymbol{e}_2$ 与 $\boldsymbol{e}_1 + k\boldsymbol{e}_2$ 共线，
$\therefore$ 存在实数 $\lambda$，使得 $k\boldsymbol{e}_1 + \boldsymbol{e}_2 = \lambda(\boldsymbol{e}_1 + k\boldsymbol{e}_2)$，
即 $(k - \lambda)\boldsymbol{e}_1 + (1 - \lambda k)\boldsymbol{e}_2 = \boldsymbol{0}$。
$\because \boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2$ 不共线，
$\therefore \begin{cases} k - \lambda = 0, \\ 1 - \lambda k = 0, \end{cases}$
解得 $k = \lambda = \pm 1$。
$\therefore k = \pm 1$。