《2026年高中必刷题高中数学必修第二册人教版》

例1
圆锥的母线$PA = 6$，高$PO = 4\sqrt{2}$，点$M$是$PA$的中点，则圆锥的体积为，一质点自点$A$出发，沿侧面绕行一周到达点$M$的最短路程为。

答案：
解析：
如图，连接$OA$，根据勾股定理求出底面圆的半径$OA = \sqrt{PA^2 - PO^2} = \sqrt{6^2 - (4\sqrt{2})^2} = 2$，所以圆锥的体积$V = \frac{1}{3}\pi × 2^2 × 4\sqrt{2} = \frac{16\sqrt{2}}{3}\pi$。

如图，将圆锥的侧面展开，连接$AM'$，则$AM'$的长为一质点自点$A$绕行一周到点$M$的最短路程。由$PA = 6$，$PM' = 3$，$l_{\overset{\frown}{AA'}} = 2\pi × 2 = 4\pi$，则$\angle APM' = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$。
在$\triangle PAM'$中，利用余弦定理得$AM'^2 = PA^2 + PM'^2 - 2PA · PM' \cos \angle APM' = 6^2 + 3^2 - 2 × 6 × 3 × (-\frac{1}{2}) = 63$，即$AM' = 3\sqrt{7}$。
答案：$\frac{16\sqrt{2}}{3}\pi$；$3\sqrt{7}$