《2026年高中必刷题高中数学必修第二册人教版》

【例2】 已知 $ \triangle ABC $ 的三个顶点坐标分别为 $ A(1,2) $，$ B(3,4) $，$ C(-1,2) $，$ BC $ 的中点为 $ D $，求 $ \overrightarrow{AD} $，$ \overrightarrow{BC} - 2\overrightarrow{AD} $，$ \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AD} $ 的坐标。

答案： 解：$ \overrightarrow{AB} = (2,2) $，$ \overrightarrow{AC} = (-2,0) $。
因为 $ D $ 是 $ BC $ 的中点，
所以 $ \overrightarrow{AD} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) $，则 $ \overrightarrow{AD} = \frac{1}{2}[(2,2) + (-2,0)] = \frac{1}{2}(0,2) = (0,1) $（或设 $ D(x,y) $，则 $ x = \frac{3 - 1}{2} = 1 $，$ y = \frac{4 + 2}{2} = 3 $，所以 $ D(1,3) $。又因为 $ A(1,2) $，所以 $ \overrightarrow{AD} = (0,1) $）。
$ \overrightarrow{BC} = (-4,-2) $，$ \overrightarrow{BC} - 2\overrightarrow{AD} = (-4,-2) - 2(0,1) = (-4,-4) $。
$ \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AD} = (2,2) + \frac{1}{2}(0,1) = (2,\frac{5}{2}) $。
【关键思想】向量坐标表示是向量的代数表现形式，它是向量进行代数运算的基础，它使向量同时具备了数与形两方面的特征，是进行代数运算和几何证明转化的工具。