《2026年高中必刷题高中数学必修第二册人教版》

【例 2】 在正方体 ABCD - A₁B₁C₁D₁ 中，E 为 AB 的中点，F 为 AA₁ 的中点，求证：CE，D₁F，DA 三线交于一点。
证明：如图所示，连接 EF，D₁C，A₁B。
∵ E 为 AB 的中点，F 为 AA₁ 的中点，∴ EF // A₁B，且 $ EF = \frac{1}{2}A₁B $。

又∵ A₁B // D₁C，A₁B = D₁C，∴ EF // D₁C，$ EF = \frac{1}{2}D₁C $，
∴ E，F，D₁，C 四点共面。
延长 D₁F，CE，设 D₁F 与 CE 相交于点 P，
又∵ D₁F ⊂ 平面 A₁D₁DA，CE ⊂ 平面 ABCD，
∴ P 为平面 A₁D₁DA 与平面 ABCD 的公共直线上的一点。
又∵ 平面 A₁D₁DA ∩ 平面 ABCD = DA，
∴ 根据基本事实 3 可得 P ∈ DA，即 CE，D₁F，DA 三线交于一点。

答案： 证明：连接EF，D₁C，A₁B。
∵E为AB中点，F为AA₁中点，
∴EF//A₁B，且$EF=\frac{1}{2}A₁B$。
∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁B//D₁C且A₁B=D₁C，
∴EF//D₁C，$EF=\frac{1}{2}D₁C$，
∴E，F，D₁，C四点共面。
延长D₁F与CE，设交点为P。
∵D₁F⊂平面A₁D₁DA，CE⊂平面ABCD，
∴P∈平面A₁D₁DA且P∈平面ABCD。
∵平面A₁D₁DA∩平面ABCD=DA，由基本事实3得P∈DA。
∴CE，D₁F，DA三线交于点P。