《2026年高中必刷题高中数学必修第二册人教版》

【例7】 在$\triangle ABC$中，内角$A$，$B$，$C$的对边分别为$a$，$b$，$c$，判断分别满足下列条件的三角形的形状。
（1）$B = 60^{\circ}$，$b^{2}=ac$；（2）$\frac{a}{\cos B}=\frac{b}{\cos A}$。

答案： 分析：（1）条件中的角为特殊角，应用余弦定理可发现三角形各边之间的关系。
（2）方法一：角化边。根据余弦定理，将条件中的$\cos B$，$\cos A$用边表示出来，这样便可化角为边，求出三条边之间的关系式。
方法二：边化角。利用正弦定理，将边转化为角的关系，再由二倍角公式，得到两个角的正弦值之间的关系，从而解题。

【例8】 在$\triangle ABC$中，若$\sin^{2}A+\sin^{2}B＜\sin^{2}C$，则$\triangle ABC$的形状是(C)

A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.不能确定

答案： 解析：设$\triangle ABC$中的内角$A$，$B$，$C$所对的边分别为$a$，$b$，$c$。由$\sin^{2}A+\sin^{2}B＜\sin^{2}C$及正弦定理，得$a^{2}+b^{2}＜c^{2}$。由余弦定理，得$\cos C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}＜0$，所以$C$为钝角，故$\triangle ABC$一定是钝角三角形。
答案：C