《2026年高中必刷题高中数学必修第二册人教版》

【例3】（1）在复平面内，满足 $ |z - 1 - i| = |z + 2 + i| $ 的复数形式方程的动点 $ Z $ 的集合表示的图形是什么？
（2）已知复数 $ z_1 = 3 + 4i $，复数 $ z $ 满足 $ |z - z_1| = 2 $，求 $ |z| $ 的最值.

答案： 解：（1）$ |z - 1 - i| = |z + 2 + i| $ 表示动点 $ Z $ 到点 $ A(1, 1), B(-2, -1) $ 距离相等的点的集合，故动点 $ Z $ 的集合表示的图形是线段 $ AB $ 的垂直平分线.
（2）$ \because |z - z_1| = 2, \therefore |z - (3 + 4i)| = 2 $，
$ \therefore $ 复数 $ z $ 在复平面内对应的点 $ Z $ 的集合表示的图形是以 $ (3, 4) $ 为圆心，$ 2 $ 为半径的圆，
$ \because |z| $ 表示动点 $ Z $ 到原点 $ (0, 0) $ 的距离，
$ \therefore |z|_{\min} = \sqrt{3^2 + 4^2} - 2 = 3, |z|_{\max} = \sqrt{3^2 + 4^2} + 2 = 7 $.

【例4】根据复数加法的几何意义，证明：$ ||z_1| - |z_2|| \leq |z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2| $.
证明：设复数 $ z_1 $ 所对应的向量是 $ \overrightarrow{OZ_1} $，复数 $ z_2 $ 所对应的向量是 $ \overrightarrow{OZ_2} $，
若复数 $ z_1, z_2 $ 有一个为 $ 0 $，或者均为 $ 0 $，不等式 $ ||z_1| - |z_2|| \leq |z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2| $ 显然成立；
若向量 $ \overrightarrow{OZ_1}, \overrightarrow{OZ_2} $ 不是零向量且共线时，显然 $ ||z_1| - |z_2|| \leq |z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2| $ 成立，左侧等号在两向量反向共线时成立，右侧等号在两向量同向共线时成立；
若向量 $ \overrightarrow{OZ_1}, \overrightarrow{OZ_2} $ 不是零向量且不共线时，如图，

由三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可得 $ ||z_1| - |z_2|| ＜ |z_1 + z_2| ＜ |z_1| + |z_2| $ 成立.
综上，$ ||z_1| - |z_2|| \leq |z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2| $.

答案： 证明：设复数$z_1$对应向量$\overrightarrow{OZ_1}$，$z_2$对应向量$\overrightarrow{OZ_2}$，则$z_1+z_2$对应向量$\overrightarrow{OZ_1}+\overrightarrow{OZ_2}$，且$|z_1|=|\overrightarrow{OZ_1}|$，$|z_2|=|\overrightarrow{OZ_2}|$，$|z_1+z_2|=|\overrightarrow{OZ_1}+\overrightarrow{OZ_2}|$。
1. 若$z_1=0$或$z_2=0$，不妨设$z_2=0$，则$|z_1+z_2|=|z_1|$，$||z_1|-|z_2||=|z_1|$，$|z_1|+|z_2|=|z_1|$，不等式成立。
2. 若$\overrightarrow{OZ_1}$与$\overrightarrow{OZ_2}$共线：同向时，$|z_1+z_2|=|z_1|+|z_2|$；反向时，$|z_1+z_2|=||z_1|-|z_2||$，不等式等号成立。
3. 若$\overrightarrow{OZ_1}$与$\overrightarrow{OZ_2}$不共线，由三角形三边关系得$||\overrightarrow{OZ_1}|-|\overrightarrow{OZ_2}||＜|\overrightarrow{OZ_1}+\overrightarrow{OZ_2}|＜|\overrightarrow{OZ_1}|+|\overrightarrow{OZ_2}|$，即$||z_1|-|z_2||＜|z_1+z_2|＜|z_1|+|z_2|$。
综上，$||z_1|-|z_2||\leq|z_1+z_2|\leq|z_1|+|z_2|$。