《2026年高中必刷题高中数学必修第二册人教版》

【例1】已知复数 $ z $ 满足 $ (1 + 2i)z = 4 + 3i $（$ i $ 是虚数单位）.
求：（1）复数 $ z $；（2）$ |z^2 - \overline{z}| $.

答案： 解：（1）由题可知，复数 $ z = \frac{4 + 3i}{1 + 2i} = \frac{(4 + 3i)(1 - 2i)}{(1 + 2i)(1 - 2i)} = \frac{10 - 5i}{5} = 2 - i $，即复数 $ z = 2 - i $.
（2）由（1）知复数 $ z = 2 - i $，则 $ z^2 = (2 - i)^2 = 3 - 4i, \overline{z} = 2 + i $，
所以 $ z^2 - \overline{z} = 3 - 4i - (2 + i) = 1 - 5i $，
故 $ |z^2 - \overline{z}| = \sqrt{1^2 + (-5)^2} = \sqrt{26} $.

【例2】当 $ z = \frac{1 - i}{\sqrt{2}} $ 时，$ z^{100} + z^{50} + 1 = $(D)

A.1
B.-1
C.i
D.-i

答案： 解：$ \because z^2 = -i, \therefore z^{50} = (-i)^{25} = -i, z^{100} = (-i)^{50} = -1 $，故原式 $ = -i $.
答案：D