《2025年全优课堂七年级数学上册人教版》

9. 根据等式的性质,若等式$m = n可经变形得到m + a = n - b$,则$a$,$b$应满足的条件是(A)
A.$a$,$b$互为相反数
B.$a$,$b$互为倒数
C.$a = b$
D.$a = 2b$

答案： A

10. 整体思想已知式子$a^{2} - 2b + 7$的值是13,那么式子$2a^{2} - 4b$的值是(B)
A.6
B.12
C.24
D.36

答案： B

11. 如图,两个天平都平衡,则与1个球体质量相等的正方体的个数为(C)

A.4
B.3
C.2
D.1

答案： C

12. 跨学科物理在物理学中,物体的密度$\rho$、物体的体积$V以及物体的质量m$之间有以下关系：$m = \rho V$,变形可得$\rho = \dfrac{m}{V}$,其变形的依据是等式两边乘同一个数或除以同一个不为零的数,结果仍得等式。

答案： 等式两边乘同一个数或除以同一个不为零的数,结果仍得等式

13. 过程纠错下面是小明将等式$x - 4 = 3x - 4$进行变形的过程：
$x - 4 + 4 = 3x - 4 + 4$,①
$x = 3x$,②
$1 = 3$。③
(1)步骤①的依据是等式的两边都加(或减)同一个数(或整式),结果仍得等式；
(2)小明出错的步骤是③,错误的原因是等式两边都除以x,x可能为0。
(3)给出正确的解法。
解:x-4=3x-4,根据等式的性质1,方程两边同时加4,x-4+4=3x-4+4,得x=3x,所以x-3x=0,所以-2x=0,所以x=0.

答案： 解:
(1)等式的两边都加(或减)同一个数(或整式),结果仍得等式
(2)③ 等式两边都除以x,x可能为0
(3)x-4=3x-4,根据等式的性质1,方程两边同时加4,x-4+4=3x-4+4,得x=3x,所以x-3x=0,所以-2x=0,所以x=0.

14. 利用等式的性质将下列方程中含有未知数的项移到方程的左边,不含未知数的项移到方程的右边。
(1)$6 + x = 10$；
(2)$\dfrac{x}{3} - \dfrac{5}{3} = 4x$；
(3)$7 - 6x = 5 - 4x$；
(4)$x - \dfrac{1}{2} = -\dfrac{1}{2}x + 5$。

答案： 解:
(1)根据等式的性质1,方程6+x=10,两边同时减6,可得x=10-6;
(2)根据等式的性质1,方程$\frac{x}{3}-\frac{5}{3}=4x$,两边同时加$\frac{5}{3}-4x$,可得$\frac{x}{3}-4x=\frac{5}{3}$;
(3)根据等式的性质1,方程7-6x=5-4x,两边同时加4x-7,可得-6x+4x=5-7;
(4)根据等式的性质1,方程$x-\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}x+5$,两边同时加$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$,可得$x+\frac{1}{2}x=5+\frac{1}{2}$.

15. 利用等式的性质解方程：
(1)$5x - 2 = 8$；
(2)$-\dfrac{1}{2}a - 3 = 5$。

答案： 解:
(1)两边同时加2,得5x-2+2=8+2,化简,得5x=10,两边同时除以5,得x=2;
(2)两边同时加3,得$-\frac{1}{2}a=8$,两边同时乘-2,得a=-16.

16. 如果关于$x的两个方程3x - 6 = 0和ax = 9$的解相同,求$a$的值。

答案： 解:解方程3x-6=0,得x=2.
因为关于x的两个方程3x-6=0和ax=9的解相同,
所以x=2是方程ax=9的解,
所以2a=9,解得a=4.5.

17. $(a - 2)x^{2} + ax + 1 = 0是关于x$的一元一次方程,利用等式的性质,求这个方程的解。

答案： 解:根据题意,得a-2=0,a≠0,所以a=2,把a=2代入方程得2x+1=0,两边同时减1,得2x+1-1=0-1,即2x=-1,两边同时除以2,得$x=-\frac{1}{2}$.

18. 你能否找到一个$m$的值,使式子$2m + 3与7m - 3$的值相等？若能,请写出$m$的值；若不能,请说明理由。

答案： 解:能,当$m=\frac{6}{5}$时,式子2m+3与7m-3的值相等.
由题意可列方程2m+3=7m-3,
方程两边同时加-7m-3,得-5m=-6,方程两边同时除以-5,得$m=\frac{6}{5}$,
所以当m的值为$\frac{6}{5}$时,式子2m+3与7m-3的值相等.

19. 逆向思维创新意识能不能从等式$(3a + 7)x = 4a - b中得到x = \dfrac{4a - b}{3a + 7}$？为什么？反过来,能不能从等式$x = \dfrac{4a - b}{3a + 7}中得到(3a + 7)x = 4a - b$？为什么？
解:由(3a+7)x=4a-b不一定能得到$x=\frac{4a-b}{3a+7}$.因为当$a=-\frac{7}{3}$时,3a+7=0,根据等式的性质2,等式的两边不能同时除以0,此时不能得到$x=\frac{4a-b}{3a+7}$.当$a≠-\frac{7}{3}$时,3a+7≠0,此时根据等式的性质2能得到$x=\frac{4a-b}{3a+7}$.
反过来,能从等式$x=\frac{4a-b}{3a+7}$得到(3a+7)x=4a-b.
由$x=\frac{4a-b}{3a+7}$知3a+7≠0,两边同时乘3a+7,得(3a+7)x=4a-b.

答案： 解:由(3a+7)x=4a-b不一定能得到$x=\frac{4a-b}{3a+7}$.因为当$a=-\frac{7}{3}$时,3a+7=0,根据等式的性质2,等式的两边不能同时除以0,此时不能得到$x=\frac{4a-b}{3a+7}$.当$a≠-\frac{7}{3}$时,3a+7≠0,此时根据等式的性质2能得到$x=\frac{4a-b}{3a+7}$.
反过来,能从等式$x=\frac{4a-b}{3a+7}$得到(3a+7)x=4a-b.
由$x=\frac{4a-b}{3a+7}$知3a+7≠0,两边同时乘3a+7,得(3a+7)x=4a-b.