《2025年全优课堂七年级数学上册人教版》

9. 定义新运算 定义新运算“$\otimes$”,规定：$a\otimes b = a^{2}-|b|$,则$(-2)\otimes(-1)$的运算结果为 (D)
A.$-5$
B.$-3$
C.$5$
D.$3$

答案： D

10. 程序计算 如图是一个计算程序,若输入$a的值为-1$,则输出的结果$b$为 (A)

A.$-5$
B.$-6$
C.$5$
D.$6$

答案： A

11. 利用规律求末尾数字 观察下列等式：$3^{1}= 3,3^{2}= 9,3^{3}= 27,3^{4}= 81,3^{5}= 243,…$,根据这个规律,则$3^{1}+3^{2}+3^{3}+…+3^{2014}$的结果的末位数字是 (B)
A.$0$
B.$2$
C.$9$
D.$8$

答案： B

12. 仔细观察下列等式：$2^{2}-1 = 1×3;3^{2}-1 = 2×4;4^{2}-1 = 3×5;5^{2}-1 = 4×6;6^{2}-1 = 5×7;…$,这些等式反映出自然数间的某种运算规律。则第$99$个等式可表示为100²-1=99×101。

答案： 100²-1=99×101

13. 有理数的游戏应用 魔术表演风靡全国,小明同学也发明了一个魔术盒,当任意有理数对$(a,b)$进入其中时,会得到一个新的有理数：$a^{2}+b - 1$。例如把$(3,-2)$放入其中,就会得到$3^{2}+(-2)-1 = 6$。
(1)若将有理数对$(1,2)$放入其中,求得到的值；
(2)已知有理数对$(m,n)$,满足$|m + 3|+(n - 2)^{2}= 0$,若将有理数对$(m,n)$放入其中,求得到的值。

答案： 解：
(1)把有理数对(1,2)代入$a^{2}+b-1$得，$1^{2}+2-1=2$；
(2)因为$|m+3|+(n-2)^{2}=0$，$|m+3|≥0$，$(n-2)^{2}≥0$，所以$m+3=0$，$n-2=0$，所以$m=-3$，$n=2$，将(-3,2)代入$a^{2}+b-1$，得$(-3)^{2}+2-1=10$.

14. 有理数的数字规律 探索：
(x - 1)(x + 1)= x^{2}-1,
(x - 1)(x^{2}+x + 1)= x^{3}-1,
(x - 1)(x^{3}+x^{2}+x + 1)= x^{4}-1,
(x - 1)(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x + 1)= x^{5}-1,
…(1)试求2^{6}+2^{5}+2^{4}+2^{3}+2^{2}+2 + 1的值；(2)观察(1)的结论,判断2^{2008}+2^{2007}+2^{2006}+…+2^{2}+2 + 1的值的个位数是几？

答案： 解：
(1)$2^{6}+2^{5}+2^{4}+2^{3}+2^{2}+2 + 1=1×(2^{6}+2^{5}+2^{4}+2^{3}+2^{2}+2 + 1)=(2-1)(2^{6}+2^{5}+2^{4}+2^{3}+2^{2}+2 + 1)=2^{7}-1$；
(2)由
(1)可得，$2^{2008}+2^{2007}+2^{2006}+…+2^{2}+2 + 1=2^{2009}-1$，分析可得：2的1次方个位是2，2的2次方个位是4，2的3次方个位是8，2的4次方个位是6，2的5次方个位是2，2的6次方个位是4，2的7次方个位是8，2的8次方个位是6，……，四个一组，依次循环，故可得$2^{2009}$的个位数字是2，则$2^{2008}+2^{2007}+2^{2006}+…+2^{2}+2 + 1$即$2^{2009}-1$的值的个位数是1.

15. 数字规律推理能力 十进制是用$0\sim9$这十个数字来表示数,满十进一,例：$212 = 2×10^{2}+1×10 + 2$；计算机常用二进制来表示字符代码,它是用$0和1$两个数来表示数,满二进一。例如,二进制数$10000$转化为十进制数：$1×2^{4}+0×2^{3}+0×2^{2}+0×2^{1}+0 = 16$。其他进制也有类似的算法。
(1)根据以上信息,将二进制数“$101110$”转化为十进制数；
(2)中国古代《易经》一书中记载,人们通过在绳子上打结来记录数量,即“结绳记数”。如图,一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结,满六进一,用来记录采集到的野果数量。根据下图,计算采集到的野果数量。

答案： 解：
(1)101110转化为十进制数是$1×2^{5}+0×2^{4}+1×2^{3}+1×2^{2}+1×2^{1}+0=32+0+8+4+2+0=46$；
(2)由于满六进一，类似于六进制数，转化为十进制数为$2×6^{3}+3×6^{2}+0×6^{1}+2=432+108+0+2=542$.
答：采集到的野果数量为542个.