《2025年智慧学习明天出版社九年级物理全一册沪科版》

四、理论推导串联、并联电路的总电阻与分电阻的关系
活动 5：推导串联电路的总电阻与分电阻的关系
1. 试根据串联电路中电压的关系$U = U_{1}+U_{2}$,电流的关系$I = I_{1} = I_{2}$和欧姆定律,推导出串联电路总电阻$R与分电阻R_{1}$、$R_{2}$之间的关系式。
提示：$U = IR$,$U_{1} = I_{1}R_{1}$,$U_{2} = I_{2}R_{2}$。
根据欧姆定律$U = IR$，$U_{1}=I_{1}R_{1}$，$U_{2}=I_{2}R_{2}$，在串联电路中$U = U_{1}+U_{2}$，$I = I_{1}=I_{2}$。将$U = IR$，$U_{1}=I_{1}R_{1}$，$U_{2}=I_{2}R_{2}$代入$U = U_{1}+U_{2}$中，可得$IR = I_{1}R_{1}+I_{2}R_{2}$，因为$I = I_{1}=I_{2}$，所以$IR=IR_{1}+IR_{2}$，两边同时除以$I$，得到$R = R_{1}+R_{2}$。
2. 理论推导结果与“活动 1”中的实验结论相符吗？
相符
填一填
两个串联电阻的总电阻等于各分电阻之和。
思考：多个(2 个以上)电阻串联的总电阻与分电阻有什么关系？请作出猜想,并通过理论推导进行证明。
猜想：总电阻等于各分电阻之和。证明：对于$n$个电阻$R_{1},R_{2},\cdots,R_{n}$串联，通过每个电阻的电流$I$相等，总电压$U = U_{1}+U_{2}+\cdots+U_{n}$，根据$U = IR$，可得$IR=IR_{1}+IR_{2}+\cdots+IR_{n}$，两边同时除以$I$，得到$R = R_{1}+R_{2}+\cdots+R_{n}$。
活动 6：推导并联电路的总电阻与分电阻的关系
1. 试推导并联电路的总电阻$R与分电阻R_{1}$、$R_{2}$的关系式。
在并联电路中，$I = I_{1}+I_{2}$，$U = U_{1}=U_{2}$，根据欧姆定律$I=\frac{U}{R}$，$I_{1}=\frac{U_{1}}{R_{1}}$，$I_{2}=\frac{U_{2}}{R_{2}}$。因为$U = U_{1}=U_{2}$，$I = I_{1}+I_{2}$，所以$\frac{U}{R}=\frac{U_{1}}{R_{1}}+\frac{U_{2}}{R_{2}}=\frac{U}{R_{1}}+\frac{U}{R_{2}}$，两边同时除以$U$，得到$\frac{1}{R}=\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}$，通分可得$R=\frac{R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}$。
2. 理论推导结果与“活动 1”中的实验结论相符吗？
相符
填一填
两个并联电阻的总电阻的倒数，等于两个分电阻的倒数之和。
思考：当两个分电阻相等,即$R_{1} = R_{2} = R_{0}$时,并联总电阻$R = $$\frac{R_{0}}{2}$。如果$n个阻值均为R_{0}$的电阻并联,则总电阻$R = $$\frac{R_{0}}{n}$。

答案： 活动5：推导串联电路的总电阻与分电阻的关系
1.
根据欧姆定律$U = IR$，$U_{1}=I_{1}R_{1}$，$U_{2}=I_{2}R_{2}$，在串联电路中$U = U_{1}+U_{2}$，$I = I_{1}=I_{2}$。
将$U = IR$，$U_{1}=I_{1}R_{1}$，$U_{2}=I_{2}R_{2}$代入$U = U_{1}+U_{2}$中，可得$IR = I_{1}R_{1}+I_{2}R_{2}$，因为$I = I_{1}=I_{2}$，所以$IR=IR_{1}+IR_{2}$，两边同时除以$I$，得到$R = R_{1}+R_{2}$。
2.
理论推导结果与“活动1”中的实验结论相符。
两个串联电阻的总电阻等于各分电阻之和。
多个（2个以上）电阻串联，猜想总电阻等于各分电阻之和。
证明：对于$n$个电阻$R_{1},R_{2},\cdots,R_{n}$串联，通过每个电阻的电流$I$相等，总电压$U = U_{1}+U_{2}+\cdots+U_{n}$，根据$U = IR$，可得$IR=IR_{1}+IR_{2}+\cdots+IR_{n}$，两边同时除以$I$，得到$R = R_{1}+R_{2}+\cdots+R_{n}$。
活动6：推导并联电路的总电阻与分电阻的关系
1.
在并联电路中，$I = I_{1}+I_{2}$，$U = U_{1}=U_{2}$，根据欧姆定律$I=\frac{U}{R}$，$I_{1}=\frac{U_{1}}{R_{1}}$，$I_{2}=\frac{U_{2}}{R_{2}}$。
因为$U = U_{1}=U_{2}$，$I = I_{1}+I_{2}$，所以$\frac{U}{R}=\frac{U_{1}}{R_{1}}+\frac{U_{2}}{R_{2}}=\frac{U}{R_{1}}+\frac{U}{R_{2}}$，两边同时除以$U$，得到$\frac{1}{R}=\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}$，通分可得$R=\frac{R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}$。
2.
理论推导结果与“活动1”中的实验结论相符。
两个并联电阻的总电阻的倒数，等于两个分电阻的倒数之和。
当两个分电阻相等，即$R_{1}=R_{2}=R_{0}$时，$\frac{1}{R}=\frac{1}{R_{0}}+\frac{1}{R_{0}}=\frac{2}{R_{0}}$，则$R = \frac{R_{0}}{2}$。
如果$n$个阻值均为$R_{0}$的电阻并联，$\frac{1}{R}=\frac{1}{R_{0}}+\frac{1}{R_{0}}+\cdots+\frac{1}{R_{0}}=\frac{n}{R_{0}}$，所以$R=\frac{R_{0}}{n}$。
综上，答案依次为：
活动5：
1. $R = R_{1}+R_{2}$；
2. 相符；之和；多个电阻串联总电阻等于各分电阻之和（证明过程如上述）；
活动6：
1. $R=\frac{R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}$；
2. 相符；倒数；倒数之和；$\frac{R_{0}}{2}$；$\frac{R_{0}}{n}$。