《2025年作业本江西教育出版社九年级数学全一册人教版》

7. 如图所示,在6×6的正方形网格中,点A,B,C均在格点上,请按要求作图.
(1)在图①中画一个格点△ADE,使△ADE与△ACB相似.
(2)在图②中找一点F,使∠AFC= 2∠ABC.

答案：

8. 如图所示,在△ABC中,D为BC上一点,E为AD上一点,∠DAC= ∠B,CD= CE.
(1)求证：△ACE∽△BAD.
(2)若CE= 3,BD= 4,AE= 2,求ED的长.

答案： 1. （1）证明：
因为$CD = CE$，根据等腰三角形的性质，$\angle CED=\angle CDE$。
又因为$\angle CED=\angle EAC+\angle ACE$，$\angle CDE=\angle BAD+\angle B$，且$\angle DAC = \angle B$。
所以$\angle ACE=\angle BAD$。
已知$\angle DAC=\angle B$，根据相似三角形的判定定理（两角分别相等的两个三角形相似），在$\triangle ACE$和$\triangle BAD$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle ACE=\angle BAD\\\angle EAC=\angle B\end{array}\right.$，所以$\triangle ACE\sim\triangle BAD$。
2. （2）
因为$\triangle ACE\sim\triangle BAD$，根据相似三角形的性质，$\frac{AE}{BD}=\frac{CE}{AD}$。
已知$CE = 3$，$BD = 4$，$AE = 2$，设$ED=x$，则$AD=AE + ED=2 + x$。
代入$\frac{AE}{BD}=\frac{CE}{AD}$中，得到$\frac{2}{4}=\frac{3}{2 + x}$。
交叉相乘可得：$2(2 + x)=4×3$。
展开式子：$4 + 2x=12$。
移项：$2x=12 - 4$，即$2x=8$。
解得$x = 4$。
所以$ED$的长为$4$。

9. 如图所示,在矩形ABCD中,E,F分别是边CD,AD上的点,且AE⊥BF,AE= BF.
(1)求证：矩形ABCD是正方形.
(2)连接BE,EF,若$DF^2= AF·AD,$求证：∠DEF= ∠ABE.

答案：
(1)证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ADE=90°，AD=BC，AB=CD，
∵AE⊥BF，
∴∠AFB+∠DAE=90°，
又∠AFB+∠ABF=90°，
∴∠ABF=∠DAE，
在△ABF和△DAE中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠BAF=∠ADE=90°\\ ∠ABF=∠DAE\\ BF=AE\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△DAE(AAS)，
∴AB=AD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴矩形ABCD是正方形.
(2)证明：
设AF=a，AD=AB=CD=BC=b，
则FD=AD-AF=b-a，
∵$DF^2=AF·AD$，
∴$(b-a)^2=a·b$，
整理得$b^2-3ab+a^2=0$，
解得$b=\frac{3+\sqrt{5}}{2}a$（舍负），
由
(1)知△ABF≌△DAE，
∴AF=DE=a，
∴CE=CD-DE=b-a，EF=$\sqrt{FD^2+DE^2}=\sqrt{(b-a)^2+a^2}$，
BE=$\sqrt{BC^2+CE^2}=\sqrt{b^2+(b-a)^2}$，
∵∠EDF=∠BAE=90°，
$\frac{FD}{AB}=\frac{b-a}{b}=\frac{\frac{3+\sqrt{5}}{2}a-a}{\frac{3+\sqrt{5}}{2}a}=\frac{\sqrt{5}-1}{3+\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
$\frac{DE}{AE}=\frac{a}{b}=\frac{2}{3+\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴$\frac{FD}{AB}=\frac{DE}{AE}$，
∴△EDF∽△BAE，
∴∠DEF=∠ABE.