《2025年作业本江西教育出版社九年级数学全一册人教版》

1. 如图所示,BM与⊙O相切于点B. 若∠MBA= 110°,则∠ACB= 70°.

答案： 【解析】：本题主要考查了切线的性质以及圆周角定理。
先根据切线的性质求出$\angle OBM$的度数，进而求出$\angle OBC$的度数，再根据圆周角定理即可求出$\angle ACB$的度数。
因为$BM$是$\odot O$的切线，
根据切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，
所以$OB\bot BM$，
即$\angle OBM = 90^{\circ}$。
已知$\angle MBA = 110^{\circ}$，
所以$\angle OBA = \angle MBA - \angle OBM = 110^{\circ} - 90^{\circ} = 20^{\circ}$。
因为$OA = OB$（均为半径），
所以$\angle OAB = \angle OBA = 20^{\circ}$（等边对等角）。
根据三角形内角和为$180^{\circ}$，
所以$\angle AOB = 180^{\circ} - \angle OAB - \angle OBA = 180^{\circ} - 20^{\circ} - 20^{\circ} = 140^{\circ}$。
根据圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，
所以$\angle ACB = \frac{1}{2}\angle AOB = \frac{1}{2} × 140^{\circ} = 70^{\circ}$。
【答案】：$70^{\circ}$

2. 如图所示,已知AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,过点C的切线与AB的延长线交于点P,连接AC. 若∠A= 30°,PC= 3,则BP的长为______.

√3

答案： 解：连接OC。
∵AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，
∴OA=OC，∠ACB=90°。
∵∠A=30°，
∴∠OCA=∠A=30°，∠COB=2∠A=60°。
∵PC是⊙O的切线，
∴OC⊥PC，即∠OCP=90°。
在Rt△OCP中，∠P=90°-∠COB=30°，PC=3，
∴OC=PC·tan∠P=3×tan30°=3×(√3/3)=√3，
OP=2OC=2√3。
∵OB=OC=√3，
∴BP=OP-OB=2√3 - √3=√3。
√3

3. 若⊙O的半径为7 cm,直线$l_{1}// l_{2}$,且$l_{1}$与⊙O相切,圆心O到$l_{2}$的距离为8 cm,则$l_{1}与l_{2}$的距离为1或15cm.

答案： 解：
∵直线$l_{1}$与⊙O相切，⊙O半径为7 cm，
∴圆心O到$l_{1}$的距离为7 cm.
当$l_{1}$，$l_{2}$在圆心O同侧时，$l_{1}$与$l_{2}$的距离为$8 - 7 = 1$ cm；
当$l_{1}$，$l_{2}$在圆心O两侧时，$l_{1}$与$l_{2}$的距离为$8 + 7 = 15$ cm.
1或15

4. 如图所示,在Rt△ABC中,∠ABC= 90°,∠BAC的平分线交BC于点D,以点D为圆心,DB的长为半径作⊙D. 求证：AC是⊙D的切线.

答案： 【解析】：
本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可。
过点$D$作$DE\perp AC$于$E$点，根据角平分线的性质可得$DB = DE$，即$DE$为圆$D$的半径，由切线的判定定理即可证明$AC$是$\odot D$的切线。
【答案】：
证明：
过点$D$作$DE\perp AC$于$E$点，
∵$AD$是$\angle BAC$的平分线，$\angle ABC = 90^{\circ}$（即$DB\perp AB$），$DE\perp AC$，
∴$DB = DE$，
∵$DB$是$\odot D$的半径，
∴$DE$也是$\odot D$的半径，
∵$DE\perp AC$，$DE$是$\odot D$的半径，
∴$AC$是$\odot D$的切线。

5. 如图所示,已知△ABC的边AB是⊙O的切线,切点为B. AC经过圆心O并与⊙O相交于点D,C,过点C作直线CE⊥AB,交AB的延长线于点E. 求证：CB平分∠ACE.

答案： 【解析】：本题主要考察圆的切线性质与角平分线的证明。要证明CB平分∠ACE，即证明∠ACB=∠ECB。利用圆的切线性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，可得OB⊥AB，又CE⊥AB，根据垂直于同一条直线的两条直线平行，可得CE//OB，最后根据两直线平行，内错角相等证明∠ACB=∠ECB。
【答案】：证明：
连接$OB$。
∵$AB$是$\odot O$的切线，
∴$OB\perp AB$。
∵$CE\perp AB$，
∴$OB// CE$，
∴$\angle OBC = \angle BCE$。
∵$OB = OC$，
∴$\angle OBC = \angle OCB$，
∴$\angle OCB = \angle BCE$，
即$CB$平分$\angle ACE$。

6. 如图所示,△ABD是⊙O的内接三角形,E是弦BD的中点,C是⊙O外一点且∠DBC= ∠A,连接OE并延长与⊙O相交于点F,与BC相交于点C.

(1)求证：BC是⊙O的切线.
(2)若⊙O的半径为6,BC= 8,求弦BD的长.

答案：
(1)证明：连接OB。
∵E是弦BD的中点，
∴OE⊥BD，即∠OEB=90°。
∵∠DBC=∠A，∠A=∠BOD/2（同弧所对圆周角是圆心角一半），∠OBE=∠BOD/2（等腰三角形OBD中，OE平分∠BOD），
∴∠DBC=∠OBE。
∵∠OEB=90°，
∴∠OBE+∠BOE=90°，
∴∠DBC+∠BOE=90°，即∠OBC=90°。
∵OB是半径，
∴BC是⊙O的切线。
(2)解：
∵⊙O半径为6，BC=8，∠OBC=90°，
∴OC=√(OB²+BC²)=√(6²+8²)=10。
∵OE⊥BD，
∴S△OBC=OB·BC/2=OC·BE/2，
即6×8=10·BE，
解得BE=4.8。
∵E是BD中点，
∴BD=2BE=9.6。
答案：
(2)9.6