《2025年作业本江西教育出版社九年级数学全一册人教版》

1. 若一个正多边形的中心角是30°,则这个正多边形是正十二边形.

答案： 【解析】：
本题主要考查正多边形的中心角与边数之间的关系。
正多边形的中心角是由正多边形的对称性决定的，每个中心角的大小是$\frac{360^\circ}{n}$，其中$n$是正多边形的边数。
题目给出正多边形的中心角是$30^\circ$，我们可以通过设置等式$\frac{360^\circ}{n} = 30^\circ$来求解正多边形的边数$n$。
【答案】：
解：
设正多边形的边数为$n$，
根据正多边形的中心角与边数之间的关系，有
$\frac{360^\circ}{n} = 30^\circ$
解这个等式，我们得到
$n = \frac{360^\circ}{30^\circ} = 12$
所以，这个正多边形是正十二边形。
故答案为：十二。

2. 如果圆的内接正六边形的周长为18,那么圆的半径为______3.

答案： 【解析】：
本题主要考查正多边形与圆的关系，特别是正六边形与其外接圆的关系。
正六边形的所有顶点都在圆上，因此正六边形的边长等于圆的半径。
题目给出正六边形的周长为18，可以通过周长求出正六边形的边长，进而得到圆的半径。
设正六边形的边长为$a$，则正六边形的周长为$6a$。
根据题目，有$6a = 18$。
解这个方程，得到$a = 3$。
由于正六边形的边长等于其外接圆的半径，所以圆的半径为3。
【答案】：
3

3. 如图①所示,等边三角形ABC内接于⊙O,连接CO并延长交⊙O于点D.
(1)可以证明CD垂直平分AB,写出$\widehat{AD}与\widehat{DB}$的数量关系：______.
(2)请你仅使用无刻度的直尺按要求作图.(保留作图痕迹,不写作法)
①在图①中作出一个正六边形；
②在图②中作出⊙O的内接正六边形ADBECF的一条不经过顶点的对称轴.

答案：

(1) $\widehat{AD}=\widehat{DB}$
。

4. 如图所示,⊙O是正方形ABCD与正六边形AEFCGH的外接圆.
(1)图中正方形与正六边形的边长之比为$\sqrt{2} : 1$.
(2)连接BE,BE是否为⊙O的内接正n边形的一边？如果是,求出n的值；如果不是,请说明理由.是，$n = 12$

答案： 【解析】：
(1) 要求正方形与正六边形的边长之比，需要连接圆心$O$与正方形和正六边形的各个顶点，利用正多边形的性质以及圆周角定理来求解边长。
设圆的半径为$R$，对于正方形，其边长可以通过圆心到顶点的距离（即半径）和圆周角定理来计算；对于正六边形，其边长同样可以通过圆心到顶点的距离和圆周角定理来计算。
连接$OA$，$OB$，$OE$。
$\because$四边形$ABCD$是正方形，
$\therefore\angle AOB = \frac{360^\circ}{4} = 90^\circ$，
$\because \triangle OAB$是等腰直角三角形，
$\therefore AB = \frac{\sqrt{2}}{2} × 2R = \sqrt{2}R$，
$\because$六边形$AEFCGH$是正六边形，
$\therefore\angle AOE = \frac{360^\circ}{6} = 60^\circ$，
$\because \triangle OAE$是等边三角形，
$\therefore AE = R$，
$\therefore AB : AE = \sqrt{2}R : R = \sqrt{2} : 1$。
(2) 要判断$BE$是否为$\odot O$的内接正$n$边形的一边，需要计算$\angle BOE$的大小，并根据正多边形的性质来判断。
具体地，如果$\angle BOE$是$\frac{360^\circ}{n}$的整数倍，那么$BE$就是$\odot O$的内接正$n$边形的一边。
由
(1)知$\angle AOB = 90^\circ$，$\angle AOE = 60^\circ$，
$\therefore \angle BOE = \angle AOB - \angle AOE = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$，
$\because \frac{360^\circ}{30^\circ} = 12$，
$\therefore$ $n = 12$，
$\therefore BE$是$\odot O$的内接正$12$边形的一边。
【答案】：
(1) $\sqrt{2} : 1$；
(2) $n = 12$。

5. 用12 m长的篱笆在空地上围成一个绿化场地,现有几种设计方案：正三角形、正方形、正六边形、圆,试通过计算说明哪种场地的面积最大.

答案： 解：
1. 正三角形：
边长：$12÷3 = 4\,m$
高：$h = \sqrt{4^{2}-2^{2}} = 2\sqrt{3}\,m$
面积：$S = \frac{1}{2}×4×2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}\approx6.93\,m^2$
2. 正方形：
边长：$12÷4 = 3\,m$
面积：$S = 3^{2}=9\,m^2$
3. 正六边形：
边长：$12÷6 = 2\,m$
分成6个等边三角形，每个面积：$\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=\sqrt{3}\,m^2$
总面积：$S = 6×\sqrt{3}=6\sqrt{3}\approx10.39\,m^2$
4. 圆：
半径：$r=\frac{12}{2\pi}=\frac{6}{\pi}\,m$
面积：$S=\pi r^{2}=\pi\left(\frac{6}{\pi}\right)^{2}=\frac{36}{\pi}\approx11.46\,m^2$
结论：圆的面积最大。