《2025年作业本江西教育出版社九年级数学全一册人教版》

1. 四边形ABCD以O为位似中心,相似比为1∶2变换后的图形是四边形A′B′C′D′,如图所示. 点A的对应点是点A′,点B的对应点是点B′,线段AB的对应线段是线段A′B′,∠DAB的对应角是∠D′A′B′,线段AD与A′D′的比为1∶2,它们关于点O位似. △OAB与△OA′B′相似,相似比为1∶2.

答案： 【解析】：
本题主要考查位似图形的性质以及对应点、对应线段、对应角的关系。
位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。
位似图形的性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比；对应线段成比例，且对应线段的比等于相似比；对应角相等。
已知四边形$ABCD$以$O$为位似中心，相似比为$1∶2$变换后的图形是四边形$A′B′C′D′$。
根据位似图形的定义，点$A$的对应点是点$A′$，点$B$的对应点是点$B′$。
根据位似图形的性质，线段$AB$的对应线段是线段$A′B′$，$\angle DAB$的对应角是$\angle D′A′B′$。
因为相似比为$1∶2$，所以线段$AD$与$A′D′$的比为$1∶2$。
由于四边形$ABCD$与四边形$A′B′C′D′$关于点$O$位似，所以它们关于点$O$位似。
$\triangle OAB$与$\triangle OA′B′$相似，因为它们是位似图形中的对应三角形，且相似比等于位似比，即$1∶2$。
【答案】：
$A′$；$B′$；$A′B′$；$\angle D′A′B′$；$1∶2$；$O$；$\triangle OA′B′$；$1∶2$。

2. 如图所示,在平面直角坐标系中,已知点A(2,4),过点A作AB⊥x轴于点B. 若将△AOB以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的1/2,得到△COD,则CD的长是______.
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2

答案： 解：
∵A(2,4)，AB⊥x轴于点B，
∴B(2,0)，AB=4。
∵△AOB以原点O为位似中心缩小为原图形的1/2得到△COD，
∴位似比为1/2，CD=AB×(1/2)=4×(1/2)=2。
答案：2

3. 如图所示,直线y= 1/3x+1与x轴、y轴分别交于A,B两点,△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形,且相似比为1∶2,则点B′的坐标为(3,2)或(-9,-2).

答案： 【解析】：本题考查位似图形的性质，根据位似中心以及相似比求出对应点的坐标。
先求出点$B$的坐标，再根据位似图形与位似中心的关系求出点$B'$的坐标。
求点$B$的坐标：
已知直线$y = \frac{1}{3}x + 1$与$y$轴交于点$B$，在$y$轴上的点横坐标都为$0$，
将$x = 0$代入直线方程$y = \frac{1}{3}x + 1$中，可得$y = \frac{1}{3}× 0 + 1 = 1$，
所以点$B$的坐标为$(0,1)$。
求点$B'$的坐标：
因为$\triangle BOC$与$\triangle B'O'C'$是以点$A$为位似中心的位似图形，且相似比为$1:2$。
先求出点$A$的坐标，直线$y = \frac{1}{3}x + 1$与$x$轴交于点$A$，在$x$轴上的点纵坐标都为$0$，
将$y = 0$代入直线方程$y = \frac{1}{3}x + 1$中，可得$0 = \frac{1}{3}x + 1$，
移项可得$\frac{1}{3}x = -1$，
两边同时乘以$3$，解得$x = -3$，
所以点$A$的坐标为$(-3,0)$。
根据位似的性质，点$B$与点$B'$到位似中心$A$的距离比等于相似比$1:2$。
设点$B'$的坐标为$(x,y)$，
则$\overrightarrow{AB}=(0 - (-3),1 - 0)=(3,1)$，
$\overrightarrow{AB'}=(x - (-3),y - 0)=(x + 3,y)$。
因为$\frac{\vert\overrightarrow{AB}\vert}{\vert\overrightarrow{AB'}\vert}=\frac{1}{2}$，且$\overrightarrow{AB'}=2\overrightarrow{AB}$（位似图形在位似中心同侧时）或$\overrightarrow{AB'}=-2\overrightarrow{AB}$（位似图形在位似中心两侧时）。
当$\overrightarrow{AB'}=2\overrightarrow{AB}$时，$(x + 3,y)=2×(3,1)=(6,2)$，
即$\begin{cases}x + 3 = 6,\\y = 2.\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = 3,\\y = 2.\end{cases}$
此时点$B'$的坐标为$(3,2)$。
当$\overrightarrow{AB'}=-2\overrightarrow{AB}$时，$(x + 3,y)=-2×(3,1)=(-6,-2)$，
即$\begin{cases}x + 3 = -6,\\y = -2.\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = -9,\\y = -2.\end{cases}$
此时点$B'$的坐标为$(-9,-2)$。
【答案】：$(3,2)$或$(-9,-2)$

4. 如图所示,印刷一张矩形广告,它的印刷面积是$32 dm^2,$两边空白各0.5 dm,上下空白各1 dm. 设印刷部分从上到下的长是x dm,四周空白的面积为$S dm^2.$
(1)求S与x的关系式.
(2)当要求四周空白处的面积为$18 dm^2$时,用来印刷这张广告的纸张的长和宽各是多少？
(3)在(2)问的条件下,内外两个矩形是位似图形吗？为什么？
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答案：
(1) 解：因为印刷部分面积为$32dm^2$，长为$xdm$，所以印刷部分宽为$\frac{32}{x}dm$。纸张长为$(x + 2×1) = (x + 2)dm$，宽为$(\frac{32}{x} + 2×0.5) = (\frac{32}{x} + 1)dm$。$S = (x + 2)(\frac{32}{x} + 1) - 32 = x + \frac{64}{x} + 2$。
(2) 解：由$S = 18$得$x + \frac{64}{x} + 2 = 18$，即$x^2 - 16x + 64 = 0$，解得$x = 8$。印刷部分宽为$\frac{32}{8} = 4dm$。纸张长为$8 + 2 = 10dm$，宽为$4 + 1 = 5dm$。
(3) 解：是位似图形。因为内外矩形对应边成比例（$\frac{10}{8} = \frac{5}{4} = \frac{5}{4}$），对应点连线交于一点（中心对称点），所以是位似图形。