《2025年作业本江西教育出版社九年级数学全一册人教版》

1. 填空.
(1) $x^2 + 6x +$9$=(x +$3$)^2$；
(2) $x^2 - 8x +$16$=(x -$4$)^2$；
(3) $x^2 + 7x +$$\frac{49}{4}$$=(x +$$\frac{7}{2}$$)^2$；
(4) $x^2 -\frac{1}{2}x +$$\frac{1}{16}$$=(x -$$\frac{1}{4}$$)^2$；
(5) $4x^2 - 8x +$4$=4(x -$1$)^2$；
(6) $2x^2 + 6x +$$\frac{9}{2}$$=2(x +$$\frac{3}{2}$$)^2$.

答案： 【解析】：
本题主要考察完全平方公式的应用。
对于形如$x^2 + bx + c$的式子，若要使其成为完全平方，需要找到一个数m，使得$x^2 + bx + m^2$可以表示为$(x + m)^2$或$(x - m)^2$的形式。
具体地，对于$x^2 + bx$，常数c应该取为$(\frac{b}{2})^2$，这样式子就可以表示为$(x + \frac{b}{2})^2$或$(x - \frac{b}{2})^2$的形式（取决于b的符号）。
(1) 对于$x^2 + 6x$，b=6，所以$m=\frac{6}{2}=3$，$m^2=9$，所以填空为9和3。
(2) 对于$x^2 - 8x$，b=-8，所以$m=\frac{-8}{2}=-4$，$m^2=16$，所以填空为16和4。
(3) 对于$x^2 + 7x$，b=7，所以$m=\frac{7}{2}$，$m^2=(\frac{7}{2})^2=\frac{49}{4}$，转化为小数形式为12.25（但通常填分数形式），所以填空为$\frac{49}{4}$和$\frac{7}{2}$。
(4) 对于$x^2 - \frac{1}{2}x$，$b=-\frac{1}{2}$，所以$m=-\frac{1}{4}$，$m^2=(\frac{1}{4})^2=\frac{1}{16}$，所以填空为$\frac{1}{16}$和$\frac{1}{4}$。
(5) 对于$4x^2 - 8x$，先提取公因数4，得到$4(x^2 - 2x)$，此时b=-2，所以$m=-1$，$m^2=1$，所以填空为1和1。
(6) 对于$2x^2 + 6x$，先提取公因数2，得到$2(x^2 + 3x)$，此时b=3，所以$m=\frac{3}{2}$，$m^2=(\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}$，但因为前面有公因数2，所以实际填空为$\frac{9}{2}$和$\frac{3}{2}$（注意这里的m是对于$x^2 + 3x$而言的，所以填入时要考虑前面的公因数）。
【答案】：
(1) $9$；$3$
(2) $16$；$4$
(3) $\frac{49}{4}$；$\frac{7}{2}$
(4) $\frac{1}{16}$；$\frac{1}{4}$
(5) 4；$1$
(6) $\frac{9}{2}$；$\frac{3}{2}$

2. 若代数式 $x^2 - kx + 4$ 是完全平方式,则 $k$ 的值为$\pm 4$.

答案： 解：因为代数式$x^2 - kx + 4$是完全平方式，而$x^2 - kx + 4 = x^2 - kx + 2^2$。
根据完全平方公式$(a\pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$，可得：
$-kx = \pm 2 \cdot x \cdot 2$
即$-k = \pm 4$
所以$k = \pm 4$
故答案为：$\pm 4$

3. 用配方法解下列方程.
(1) $x^2 - 4x - 3 = 0$；
(2) $2x^2 + 8x - 10 = 0$；
(3) $2x^2 + 1 = 3x$；
(4) $\frac{1}{2}x^2 - x + 7 = 0$.

答案：
(1)解：移项，得$x^2 - 4x = 3$
配方，得$x^2 - 4x + 4 = 3 + 4$
即$(x - 2)^2 = 7$
开平方，得$x - 2 = ±\sqrt{7}$
解得$x_1 = 2 + \sqrt{7}$，$x_2 = 2 - \sqrt{7}$
(2)解：方程两边同除以2，得$x^2 + 4x - 5 = 0$
移项，得$x^2 + 4x = 5$
配方，得$x^2 + 4x + 4 = 5 + 4$
即$(x + 2)^2 = 9$
开平方，得$x + 2 = ±3$
解得$x_1 = 1$，$x_2 = -5$
(3)解：移项，得$2x^2 - 3x = -1$
方程两边同除以2，得$x^2 - \frac{3}{2}x = -\frac{1}{2}$
配方，得$x^2 - \frac{3}{2}x + (\frac{3}{4})^2 = -\frac{1}{2} + (\frac{3}{4})^2$
即$(x - \frac{3}{4})^2 = \frac{1}{16}$
开平方，得$x - \frac{3}{4} = ±\frac{1}{4}$
解得$x_1 = 1$，$x_2 = \frac{1}{2}$
(4)解：方程两边同乘以2，得$x^2 - 2x + 14 = 0$
移项，得$x^2 - 2x = -14$
配方，得$x^2 - 2x + 1 = -14 + 1$
即$(x - 1)^2 = -13$
因为$-13 ＜ 0$，所以原方程无实数根

4. 先阅读下面的例题,再按要求解答后面的问题.
例：求代数式 $y^2 + 4y + 8$ 的最小值.
解：$y^2 + 4y + 8 = y^2 + 4y + 4 + 4 = (y + 2)^2 + 4$.
$\because (y + 2)^2 \geq 0$,$\therefore (y + 2)^2 + 4 \geq 4$.
即 $y^2 + 4y + 8$ 的最小值是 4.
(1) 求代数式 $m^2 + m + 4$ 的最小值.
(2) 求代数式 $4 - x^2 + 2x$ 的最大值.
21.2.2 公式法(一)

答案：
(1)解：$m^2 + m + 4$
$=m^2 + m + \frac{1}{4} + \frac{15}{4}$
$=(m + \frac{1}{2})^2 + \frac{15}{4}$
$\because (m + \frac{1}{2})^2 \geq 0$
$\therefore (m + \frac{1}{2})^2 + \frac{15}{4} \geq \frac{15}{4}$
即代数式$m^2 + m + 4$的最小值是$\frac{15}{4}$。
(2)解：$4 - x^2 + 2x$
$= -x^2 + 2x + 4$
$= -(x^2 - 2x) + 4$
$= -(x^2 - 2x + 1 - 1) + 4$
$= -[(x - 1)^2 - 1] + 4$
$= -(x - 1)^2 + 1 + 4$
$= -(x - 1)^2 + 5$
$\because (x - 1)^2 \geq 0$
$\therefore -(x - 1)^2 \leq 0$
$\therefore -(x - 1)^2 + 5 \leq 5$
即代数式$4 - x^2 + 2x$的最大值是5。