《2025年作业本江西教育出版社九年级数学全一册人教版》

1. 如图所示,在同心圆中,大⊙O的弦AB切小⊙O于点P. 若AB= 6,则圆环的面积为9π.

答案： 解：连接OA、OP。
∵AB切小⊙O于点P，
∴OP⊥AB，AP=BP=AB/2=3。
设大⊙O半径为R，小⊙O半径为r，
则OA=R，OP=r。
在Rt△OAP中，OA²=OP²+AP²，
即R²=r²+3²，R²-r²=9。
圆环面积=πR²-πr²=π(R²-r²)=9π。
答案：9π

2. 如图所示,AB是⊙O的直径,AP是⊙O的切线,A是切点,BP与⊙O交于点C.

(1)若∠P= 35°,求∠ABP的大小.
(2)若D为AP的中点,求证：直线CD是⊙O的切线.

答案：
(1)解：
∵AP是⊙O的切线，A是切点，AB是⊙O的直径，
∴∠BAP=90°，
∵∠P=35°，
∴∠ABP=90°-∠P=90°-35°=55°．
(2)证明：连接OC，AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACP=90°，
∵D为AP的中点，
∴CD=AD=PD，
∴∠DAC=∠DCA，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵∠OAC+∠DAC=∠BAP=90°，
∴∠OCA+∠DCA=90°，即∠OCD=90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴直线CD是⊙O的切线．

3. 如图所示,以线段AB为直径作⊙O,交射线AC于点C,DA平分∠CAB,DA交⊙O于点D,过点D作直线DE⊥AC于点E,DE交AB的延长线于点F,连接BD并延长交射线AC于点M.

(1)求证：直线DE是⊙O的切线.
(2)求证：AB= AM.
(3)若ME= 1,∠F= 30°,求BF的长.

答案： 1. （1）**证明直线$DE$是$\odot O$的切线**：
连接$OD$。
因为$OA = OD$，所以$\angle OAD=\angle ODA$（等边对等角）。
又因为$DA$平分$\angle CAB$，所以$\angle CAD=\angle OAD$。
则$\angle CAD=\angle ODA$（等量代换），所以$OD// AC$（内错角相等，两直线平行）。
因为$DE\perp AC$，即$\angle AED = 90^{\circ}$，所以$\angle ODE=\angle AED = 90^{\circ}$（两直线平行，内错角相等）。
又因为$OD$是$\odot O$的半径，所以直线$DE$是$\odot O$的切线（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）。
2. （2）**证明$AB = AM$**：
因为$AB$是$\odot O$的直径，所以$\angle ADB = 90^{\circ}$（直径所对的圆周角是直角），即$BD\perp AM$。
又因为$DA$平分$\angle CAB$，即$\angle CAD=\angle BAD$。
在$\triangle ABD$和$\triangle AMD$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle ADB=\angle ADM = 90^{\circ}\\\angle BAD=\angle MAD\\AD = AD\end{array}\right.$。
根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle ABD\cong\triangle AMD$。
所以$AB = AM$（全等三角形的对应边相等）。
3. （3）**求$BF$的长**：
因为$\angle F = 30^{\circ}$，$\angle ODF = 90^{\circ}$，所以$\angle DOF=60^{\circ}$。
因为$OD = OB$，所以$\triangle OBD$是等边三角形，$\angle OBD = 60^{\circ}$，则$\angle MBE = 60^{\circ}$。
因为$\angle BEM = 90^{\circ}$，所以$\angle M = 30^{\circ}$。
已知$ME = 1$，在$Rt\triangle BEM$中，$\tan M=\frac{BE}{ME}$，$\cos M=\frac{ME}{BM}$。
因为$\angle M = 30^{\circ}$，$\tan30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以$BE = ME\tan M=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$BM = \frac{ME}{\cos M}=\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$。
设$OD = OB = r$，在$Rt\triangle ODF$中，$\angle F = 30^{\circ}$，则$OF = 2OD = 2r$。
又因为$OF=OB + BF$，$AB = AM$，$AB = 2r$，$AM=AE+ME$，$AE = AD\cos\angle CAD$，$AD = BD\tan\angle BAD$（这里用$OD// AC$，$\angle CAD=\angle ODA = 30^{\circ}$）。
因为$OD// AC$，$\angle DOF=\angle A = 60^{\circ}$（两直线平行，同位角相等），在$Rt\triangle ODF$中，$OD = OB$，$OF = 2OD$。
由$\angle M = 30^{\circ}$，$\angle BEM = 90^{\circ}$，$ME = 1$，可得$BE=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$BM=\frac{2\sqrt{3}}{3}$。
因为$AB = AM$，$AB = 2OB$，$AM=AE + ME$，$AE=\sqrt{3}OD$（$\angle A = 60^{\circ}$，$\angle AED = 90^{\circ}$，$\tan A=\sqrt{3}$）。
又因为$OD// AC$，$\triangle OBD$是等边三角形，$OB = BD$。
设$OD=x$，在$Rt\triangle ODF$中，$OF = 2x$，$BF=OF - OB=x$。
因为$\angle M = 30^{\circ}$，$\angle BEM = 90^{\circ}$，$ME = 1$，$BE=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$OB = BE$（$\triangle OBD$是等边三角形，$\angle OBD = 60^{\circ}$，$\angle MBE = 60^{\circ}$，$\angle BEM = 90^{\circ}$，$\angle M = 30^{\circ}$，$\triangle BEM$与$\triangle ODF$的关系）。
因为$OD// AC$，$\frac{OD}{AE}=\frac{OB}{AB}=\frac{1}{2}$，$AE=\sqrt{3}$（$\angle A = 60^{\circ}$，$DE\perp AC$，$ME = 1$，$AE = \sqrt{3}$），$OD = 1$。
在$Rt\triangle ODF$中，$\angle F = 30^{\circ}$，$OD = 1$，$OF = 2$，$OB = 1$，所以$BF=1$。
综上，（1）已证直线$DE$是$\odot O$的切线；（2）已证$AB = AM$；（3）$BF$的长为$1$。