《2025年作业本江西教育出版社九年级数学全一册人教版》

12. 阅读下列材料,回答问题.

任务1：估计不规则封闭图形的面积.
如图①所示,地面上有一个不规则的封闭图形,为求得它的面积,小明在此封闭图形内画出一个边长为1m的正方形后,在附近闭上眼睛向封闭图形内掷绿豆(可把绿豆近似看成点),并记录如下数据(有效掷绿豆指绿豆落在该封闭图形内,含边界)：
|有效掷绿豆总次数m|50|150|300|600|...|
|绿豆落在正方形内(含正方形的边界)的次数n|10|35|77|151|...|
|$\frac{n}{m}$|0.200|0.233|0.257|0.252|...|

(1)当有效掷绿豆总次数m= 1000时,绿豆落在正方形内(含正方形的边界)的次数n最可能是( C )
A. 150
B. 230
C. 251
D. 510
(2)请根据表格中的数据估计如果你随机掷一颗绿豆(落在该封闭图形内,含边界),那么该绿豆恰好落在正方形内(含正方形的边界)的概率约为0.25(精确到0.01).
(3)请你利用(2)中所得概率,估计该不规则封闭图形的面积.
设不规则封闭图形的面积为$S$，正方形面积为$1m^2$，由概率$\frac{1}{S}=0.25$，解得$S=4m^2$，即该不规则封闭图形的面积约为$4m^2$。
任务2：估计圆周率π的大小.
(4)关于圆周率π,数学发展史上出现过许多有创意的求法,小华借鉴任务1的探究思路,设计一个估算圆周率π的实验,如图②所示. 地面上有一个边长为3m的正方形,在此正方形内画出一个半径为$\frac{3}{2}$m的圆. 在正方形外闭上眼睛向正方形内掷绿豆(可把绿豆近似看成点),大量重复实验并记录数据,小华将有效掷绿豆的总次数计为a,绿豆落在圆内(含圆的边界)的次数记为b. 当a很大时,绿豆落在圆内(含圆的边界)的频率值稳定在$\frac{b}{a}$,请尝试用含字母a,b的式子表示π.
$\pi = \frac{4b}{a}$

答案： 【解析】：
任务1：估计不规则封闭图形的面积。
（1）观察给出的数据，当掷绿豆总次数$m$增加时，绿豆落在正方形内的次数$n$与总次数$m$的比值$\frac{n}{m}$逐渐稳定在0.25左右。
因此，当$m=1000$时，$n$最可能是$0.25 × 1000 = 250$附近，选项C（251）最接近。
答案：C。
（2）根据表格中的数据，绿豆落在正方形内的频率稳定在0.25左右。
因此，随机掷一颗绿豆，绿豆恰好落在正方形内的概率约为0.25。
答案：0.25。
（3）设不规则封闭图形的面积为$S$，正方形的面积为$1m^2$（边长为1m）。
由于绿豆落在正方形内的概率约为0.25，因此有：
$\frac{正方形面积}{不规则封闭图形面积} = 0.25$。
即：
$\frac{1}{S} = 0.25$。
解得：
$S = \frac{1}{0.25} = 4m^2$。
答案：$4m^2$。
任务2：估计圆周率$\pi$的大小。
（4）正方形的面积为$(3m)^2 = 9m^2$，圆的面积为$\pi \left( \frac{3}{2}m \right)^2 = \frac{9}{4}\pi m^2$。
由于绿豆落在圆内的频率稳定在$\frac{b}{a}$，因此有：
$\frac{圆的面积}{正方形面积} = \frac{b}{a}$。
即：
$\frac{\frac{9}{4}\pi m^2}{9m^2} = \frac{b}{a}$。
化简得：
$\frac{\pi}{4} = \frac{b}{a}$。
解得：
$\pi = \frac{4b}{a}$。
答案：$\pi = \frac{4b}{a}$。
【答案】：
（1）C。
（2）0.25。
（3）$4m^2$。
（4）$\pi = \frac{4b}{a}$。