《2025年作业本江西教育出版社九年级数学全一册人教版》

1. 如图所示,若$AB// CD$,$\frac{AO}{OD}= \frac{2}{3}$,则$\triangle AOB的周长与\triangle DOC$的周长比是$\frac{2}{3}$。

答案： 【解析】：
本题可根据相似三角形的判定定理先证明$\triangle AOB$与$\triangle DOC$相似，再根据相似三角形的性质求出它们的周长比。
步骤一：证明$\triangle AOB$与$\triangle DOC$相似
已知$AB// CD$，根据平行线的性质可知，两直线平行，内错角相等。
所以$\angle A = \angle D$，$\angle B = \angle C$。
在$\triangle AOB$和$\triangle DOC$中，$\angle A = \angle D$，$\angle B = \angle C$，根据两角分别相等的两个三角形相似，可得$\triangle AOB\sim\triangle DOC$。
步骤二：求$\triangle AOB$与$\triangle DOC$的相似比
相似三角形对应边的比称为相似比。
已知$\frac{AO}{OD}=\frac{2}{3}$，因为$\triangle AOB\sim\triangle DOC$，所以它们的对应边成比例，即$\frac{AO}{OD}=\frac{BO}{OC}=\frac{AB}{CD}=\frac{2}{3}$，也就是$\triangle AOB$与$\triangle DOC$的相似比为$\frac{2}{3}$。
步骤三：求$\triangle AOB$与$\triangle DOC$的周长比
根据相似三角形的性质：相似三角形周长的比等于相似比。
由于$\triangle AOB$与$\triangle DOC$的相似比为$\frac{2}{3}$，所以$\triangle AOB$的周长与$\triangle DOC$的周长比是$\frac{2}{3}$。
【答案】：$\frac{2}{3}$

2. 如图所示,$D,E分别为\triangle ABC的边AB,AC$上的中点。若$\triangle ADE的面积为\frac{1}{2}$,则四边形$DBCE$的面积为$\frac{3}{2}$。

答案： 解：
∵D，E分别为△ABC的边AB，AC上的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//BC，DE=$\frac{1}{2}$BC，
∴△ADE∽△ABC，相似比为$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle ABC}}=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，
∵S_△ADE=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{\frac{1}{2}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{1}{4}$，
∴S_△ABC=2，
∴四边形DBCE的面积=S_△ABC-S_△ADE=2-$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$。
$\frac{3}{2}$

3. 如图所示,将$\triangle ABC沿BC边上的中线AD平移到\triangle A'B'C'$的位置。已知$\triangle ABC的面积为9$,阴影部分三角形的面积为$4$。若$AA'= 1$,则$A'D= $2。

答案： 解：设$A'D = x$，则$AD = AA' + A'D = 1 + x$。
由平移性质知$\triangle A'B'C'\backsim\triangle ABC$，且对应中线之比等于相似比，即$\frac{A'D}{AD}=\frac{x}{x + 1}$。
因为相似三角形面积比等于相似比的平方，且阴影部分面积为$4$，$\triangle ABC$面积为$9$，所以$(\frac{x}{x + 1})^2=\frac{4}{9}$。
解得$x = 2$（负值舍去），故$A'D = 2$。
答案：$2$

4. 如图所示,在平行四边形$ABCD$中,点$E在AD$上。若$\frac{AE}{ED}= \frac{2}{1}$,$CE交BD于点F$,则$S_{\triangle BCF}:S_{\triangle DCF}= $3:1。

答案： 解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC。
∵$\frac{AE}{ED}=\frac{2}{1}$，设AE=2k，ED=k，则AD=AE+ED=3k，
∴BC=AD=3k。
∵AD//BC，
∴△DEF∽△BCF（两直线平行，内错角相等，两角对应相等的三角形相似）。
∴$\frac{DF}{BF}=\frac{ED}{BC}=\frac{k}{3k}=\frac{1}{3}$，即BF=3DF。
设△DCF的面积为S，
∵△BCF和△DCF的高相同（以C为顶点，BD为底边），
∴$\frac{S_{\triangle BCF}}{S_{\triangle DCF}}=\frac{BF}{DF}=\frac{3DF}{DF}=3$。
故$S_{\triangle BCF}:S_{\triangle DCF}=3:1$。
答案：3:1

5. 如图所示,在$\triangle ABC$中,$AB= 8$,$BC= 4$,$CA= 6$,$CD// AB$,$BD是\angle ABC$的平分线,$BD交AC于点E$。求$AE$的长。

答案： 解：
∵ BD 平分∠ABC，
∴ ∠ABD = ∠CBD。
∵ CD//AB，
∴ ∠ABD = ∠D（两直线平行，内错角相等）。
∴ ∠CBD = ∠D，
∴ BC = CD（等角对等边）。
∵ BC = 4，
∴ CD = 4。
∵ CD//AB，
∴ △ABE∽△CDE（平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应三角形相似）。
∴ $\frac{AE}{CE} = \frac{AB}{CD}$（相似三角形对应边成比例）。
∵ AB = 8，CD = 4，
∴ $\frac{AE}{CE} = \frac{8}{4} = 2$，即 AE = 2CE。
设 CE = x，则 AE = 2x。
∵ AC = AE + CE = 6，
∴ 2x + x = 6，解得 x = 2。
∴ AE = 2x = 4。
答案：4

6. 如图所示,$\triangle ABC$为锐角三角形,$AD是BC$边上的高,正方形$EFGH的一边FG在BC$上,顶点$E,H分别在AB,AC$上。已知$BC= 4\ cm$,$AD= 3\ cm$。
(1)求证：$\triangle AEH\backsim\triangle ABC$。
(2)求正方形$EFGH$的边长与面积。

27.2.2 相似三角形的性质(二)

答案：
(1)证明：
∵四边形EFGH是正方形，
∴EH//FG，
∵FG在BC上，
∴EH//BC，
∴∠AEH=∠B，∠AHE=∠C，
∴△AEH∽△ABC。
(2)解：设正方形EFGH的边长为x cm，
∵AD是BC边上的高，AD=3 cm，
∴△ABC的高为3 cm，△AEH的高为AD - x = (3 - x)cm，
∵△AEH∽△ABC，
∴$\frac{EH}{BC}=\frac{△AEH的高}{△ABC的高}$，
∵EH=x cm，BC=4 cm，
∴$\frac{x}{4}=\frac{3 - x}{3}$，
解得x=$\frac{12}{7}$，
∴正方形EFGH的边长为$\frac{12}{7}$cm，
面积为$(\frac{12}{7})^{2}=\frac{144}{49}$cm²。
答：正方形EFGH的边长为$\frac{12}{7}$cm，面积为$\frac{144}{49}$cm²。