《2025年作业本江西教育出版社九年级数学全一册人教版》

6. 如图所示,小明在一次高尔夫球训练中,从山坡下点P处打出一球向球洞A飞去,球的飞行路线为抛物线. 如果不考虑空气阻力,当球达到最高点B时,最大高度BD为12 m,球移动的水平距离PD为9 m. 已知山坡PA与水平方向PC的夹角为30°,AC⊥PC于点C,P,A两点相距 $ 8\sqrt{3} $ m.
(1)求水平距离PC的长.
(2)请建立适当的平面直角坐标系,求出球的飞行路线所在抛物线的解析式.
(3)判断小明这一杆能否把高尔夫球从点P直接打入球洞A,并说明理由.

答案： 【解析】：
本题主要考查了勾股定理的应用、二次函数的应用以及二次函数图象上点的坐标特征。
（1）在$Rt\bigtriangleup PAC$中，$\because\angle C = 90^{\circ},\angle APC = 30^{\circ},PA = 8\sqrt{3}m$，
$\therefore AC = \frac{1}{2}PA = \frac{1}{2} × 8\sqrt{3} = 4\sqrt{3}(m)$。
$\therefore PC = \sqrt{PA^{2} - AC^{2}} = \sqrt{(8\sqrt{3})^{2} - (4\sqrt{3})^{2}} = 12(m)$。
因此，水平距离$PC$的长为$12m$。
（2）以$P$为原点，$PC$所在直线为$x$轴建立平面直角坐标系，
设抛物线的解析式为$y = a(x - 9)^{2} + 12$，
把$P(0,0)$代入，得$0 = a × (0 - 9)^{2} + 12$，即$0 = 81a + 12$，
解得$a = - \frac{4}{27}$，
$\therefore$抛物线的解析式为$y = - \frac{4}{27}(x - 9)^{2} + 12$。
（3）小明这一杆不能把高尔夫球从$P$点直接打入球洞$A$。理由如下：
把$x = 12$代入$y = - \frac{4}{27}(x - 9)^{2} + 12$，
得$y = - \frac{4}{27} × (12 - 9)^{2} + 12 = - \frac{4}{27} × 3^{2} + 12 = - \frac{4}{3} + 12 = \frac{32}{3} \neq 4\sqrt{3}$，
$\therefore$小明这一杆不能把高尔夫球从$P$点直接打入球洞$A$。
【答案】：
(1) $PC = 12m$；
(2) 抛物线的解析式为$y = - \frac{4}{27}(x - 9)^{2} + 12$；
(3) 小明这一杆不能把高尔夫球从$P$点直接打入球洞$A$，理由见上述解析。

7. 某超市按每袋10元的价格购进某种软糖,每袋加价2元销售(该种软糖实际销售单价不得低于12元/袋,否则为亏本销售),每天可售出20袋. 在销售过程中发现,每袋软糖每涨价1元,销售量就减少2袋.
(1)该种软糖一天内的销售量y(袋)与销售单价x(元)满足怎样的函数关系？
(2)如果一天内销售该种软糖的利润为w(元),求w关于x的函数解析式.
(3)当销售单价定为每袋多少元时,一天内销售该种软糖的利润最大？最大利润是多少？

答案：
(1) 解：由题意，每袋软糖每涨价1元，销售量就减少2袋。初始销售单价为12元时，销售量为20袋。销售单价为x元时，涨价了(x-12)元，所以销售量减少2(x-12)袋。则销售量y=20-2(x-12)=20-2x+24=-2x+44。又因为实际销售单价不得低于12元，且销售量不能为负数，即-2x+44≥0，解得x≤22。所以y与x的函数关系为y=-2x+44（12≤x≤22）。
(2) 解：每袋的利润为(x-10)元，销售量为y=-2x+44袋，所以利润w=(x-10)(-2x+44)。展开得w=-2x²+44x+20x-440=-2x²+64x-440。即w关于x的函数解析式为w=-2x²+64x-440（12≤x≤22）。
(3) 解：w=-2x²+64x-440，其中a=-2＜0，抛物线开口向下，对称轴为x=-b/(2a)=-64/(2×(-2))=16。因为12≤16≤22，所以当x=16时，w有最大值。将x=16代入w=-2x²+64x-440，得w=-2×16²+64×16-440=-2×256+1024-440=-512+1024-440=72。所以当销售单价定为每袋16元时，一天内销售该种软糖的利润最大，最大利润是72元。