《2025年作业本江西教育出版社九年级数学全一册人教版》

1. 关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0(a \neq 0)$ 的实数根为 $x = $$\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.

答案： 【解析】：
这是一道关于一元二次方程实数根求解的题目。一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$（其中 $a \neq 0$）的实数根可以通过公式求解。这个公式是一元二次方程的解的公式，即当 $\Delta = b^2 - 4ac \geq 0$ 时，方程有两个实数根，分别为：
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
题目要求填写一元二次方程的实数根，因此我们需要使用上述公式来填写答案。
【答案】：
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

2. 小刚在判断方程 $x^2 + 3x = 4$ 的根的情况时,计算 $\Delta = 3^2 - 4 × 1 × 4 = -7 ＜ 0$,因此判断此方程无实数根.请你写出小刚得出错误结论的原因：没有将方程$x^2 + 3x = 4$移项化为一般形式$x^2 + 3x - 4 = 0$，导致$c$的值计算错误.

答案： 【解析】：
本题主要考察一元二次方程的根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac$的应用。
在一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$中，$\Delta$用于判断方程的根的情况。
当$\Delta \gt 0$时，方程有两个不相等的实数根；
当$\Delta = 0$时，方程有两个相等的实数根；
当$\Delta \lt 0$时，方程没有实数根。
但在使用判别式之前，需要确保方程是一般形式$ax^2 + bx + c = 0$。
原方程$x^2 + 3x = 4$需要先移项化为一般形式，即$x^2 + 3x - 4 = 0$。
此时，$a = 1$，$b = 3$，$c = -4$。
小刚在计算判别式时，错误地将$c$的值取为$4$，而正确的$c$值应为$-4$。
因此，正确的判别式应为$\Delta = 3^2 - 4 × 1 × (-4) = 9 + 16 = 25 \gt 0$，说明方程有两个不相等的实数根。
【答案】：
错误原因是没有将方程$x^2 + 3x = 4$移项化为一般形式$x^2 + 3x - 4 = 0$，导致$c$的值计算错误。

3. 将方程 $(2x + 3)(x + 2) = 1$ 化为一般形式是$2x^2 + 7x + 5 = 0$,$b^2 - 4ac = $9,用求根公式求得 $x_1 = $$-1$,$x_2 = $$-\frac{5}{2}$.

答案： 【解析】：
本题主要考查一元二次方程的一般形式、判别式的计算以及求根公式的应用。
首先，将原方程$(2x + 3)(x + 2) = 1$展开并整理为一般形式：
$2x^2 + 4x + 3x + 6 - 1 = 0$，
$2x^2 + 7x + 5 = 0$，
其中，$a = 2$，$b = 7$，$c = 5$。
接着，计算判别式$b^2 - 4ac$：
$b^2 - 4ac = 7^2 - 4 × 2 × 5 = 49 - 40 = 9$，
最后，利用求根公式求解$x_1$和$x_2$：
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-7 + \sqrt{9}}{2 × 2} = \frac{-7 + 3}{4} = -1$，
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-7 - \sqrt{9}}{2 × 2} = \frac{-7 - 3}{4} = -\frac{5}{2}$，
【答案】：
一般形式是$2x^2 + 7x + 5 = 0$；
$b^2 - 4ac = 9$；
$x_1 = -1$；
$x_2 = -\frac{5}{2}$。

4. 若代数式 $2x^2 + 1$ 与 $4x^2 - 2x - 5$ 的值互为相反数,则 $x = $$-\dfrac{2}{3}$或$1$.

答案： 解：由题意得，$2x^2 + 1 + 4x^2 - 2x - 5 = 0$
合并同类项，得$6x^2 - 2x - 4 = 0$
化简，得$3x^2 - x - 2 = 0$
因式分解，得$(3x + 2)(x - 1) = 0$
则$3x + 2 = 0$或$x - 1 = 0$
解得$x_1 = -\dfrac{2}{3}$，$x_2 = 1$
$-\dfrac{2}{3}$或$1$

5. 用公式法解一元二次方程.
(1) $x^2 - 3x + 2 = 0$；
(2) $2x^2 - 2\sqrt{3}x + \frac{3}{2} = 0$；
(3) $4y^2 - 3 = (y + 2)^2$；
(4) $y^2 + 8 = 5y$.

答案：
(1)解：$a=1$，$b=-3$，$c=2$
$\Delta =b^2 - 4ac=(-3)^2 - 4×1×2=9 - 8=1＞0$
$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{3\pm1}{2}$
$x_1=\frac{3 + 1}{2}=2$，$x_2=\frac{3 - 1}{2}=1$
(2)解：$a=2$，$b=-2\sqrt{3}$，$c=\frac{3}{2}$
$\Delta =b^2 - 4ac=(-2\sqrt{3})^2 - 4×2×\frac{3}{2}=12 - 12=0$
$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{2\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
$x_1=x_2=\frac{\sqrt{3}}{2}$
(3)解：$4y^2 - 3=(y + 2)^2$
$4y^2 - 3=y^2 + 4y + 4$
$3y^2 - 4y - 7=0$
$a=3$，$b=-4$，$c=-7$
$\Delta =b^2 - 4ac=(-4)^2 - 4×3×(-7)=16 + 84=100＞0$
$y=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{4\pm10}{6}$
$y_1=\frac{4 + 10}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}$，$y_2=\frac{4 - 10}{6}=\frac{-6}{6}=-1$
(4)解：$y^2 + 8=5y$
$y^2 - 5y + 8=0$
$a=1$，$b=-5$，$c=8$
$\Delta =b^2 - 4ac=(-5)^2 - 4×1×8=25 - 32=-7＜0$
此方程无实数根

6. 若关于 $x$ 的方程 $(m - 2)x^2 - 4x + 2 = 0$ 有实数根,求 $m$ 的取值范围.
解：当$m - 2 = 0$，即$m = 2$时，方程为$-4x + 2 = 0$，是一元一次方程，有实数根$x = \frac{1}{2}$。
当$m - 2 \neq 0$，即$m \neq 2$时，方程为一元二次方程。
$\Delta = (-4)^2 - 4(m - 2)×2 = 16 - 8(m - 2) = 16 - 8m + 16 = 32 - 8m$。
因为方程有实数根，所以$\Delta \geq 0$，即$32 - 8m \geq 0$，解得$m \leq 4$。
综上，$m$的取值范围是$m \leq 4$。

答案： 解：当$m - 2 = 0$，即$m = 2$时，方程为$-4x + 2 = 0$，是一元一次方程，有实数根$x = \frac{1}{2}$。
当$m - 2 \neq 0$，即$m \neq 2$时，方程为一元二次方程。
$\Delta = (-4)^2 - 4(m - 2)×2 = 16 - 8(m - 2) = 16 - 8m + 16 = 32 - 8m$。
因为方程有实数根，所以$\Delta \geq 0$，即$32 - 8m \geq 0$，解得$m \leq 4$。
综上，$m$的取值范围是$m \leq 4$。