《2025年作业本江西教育出版社九年级数学全一册人教版》

1. 若反比例函数 $ y= \frac{k-1}{x} $ 的图象经过点 $ (-2,-3) $,则 $ k= $______7.

答案： 【解析】：
本题主要考查反比例函数的定义及其性质。
题目给出反比例函数 $y = \frac{k-1}{x}$，并且告诉我们这个函数图象经过点 $(-2, -3)$。
根据反比例函数的定义，我们可以将点的坐标代入函数表达式，得到一个关于 $k$ 的方程。
即：$-3 = \frac{k-1}{-2}$，
解这个方程，我们就可以找到 $k$ 的值。
【答案】：
解：
由题可知，反比例函数 $y = \frac{k-1}{x}$ 经过点 $(-2, -3)$，
代入得：$-3 = \frac{k-1}{-2}$，
两边乘以 $-2$，得：$6 = k-1$，
解得：$k = 7$，
故答案为：$7$。

2. 甲、乙两地间的高速公路长为 $ 300 \, km $,一辆小汽车从甲地去乙地. 若在途中是匀速运动,速度为 $ v \, km/h $,所用时间是 $ t \, h $,则 $ t $ 关于 $ v $ 的函数解析式是$t = \frac{300}{v}$.

答案： 【解析】：
本题主要考察反比例函数在实际问题中的应用。
根据速度、时间和距离的关系，我们有公式：$s = v × t$，其中$s$是距离，$v$是速度，$t$是时间。
题目中给出甲、乙两地间的高速公路长为$300km$，即$s = 300$。
将$s = 300$代入公式$s = v × t$，得到：$300 = v × t$。
解这个方程，得到时间$t$关于速度$v$的函数解析式：$t = \frac{300}{v}$。
【答案】：
$t = \frac{300}{v}$

3. 下列问题中,两个变量之间的关系不是反比例函数的是______(填序号).
①小明完成 $ 100 \, m $ 赛跑时,时间 $ t $ 与他跑步的平均速度 $ v $ 之间的关系；
②菱形的面积为 $ 48 \, cm^2 $,它的两条对角线的长 $ y $ 与 $ x $ 之间的关系；
③一个玻璃容器的容积为 $ 30 \, L $ 时,所盛液体的质量 $ m $ 与所盛液体的密度 $ \rho $ 之间的关系；
④压力为 $ 600 \, N $ 时,压强 $ p $ 与受力面积 $ S $ 之间的关系.③

答案： 解：①路程=速度×时间，即$100 = vt$，$t = \frac{100}{v}$，是反比例函数。
②菱形面积=$\frac{1}{2}×$对角线乘积，即$48 = \frac{1}{2}xy$，$y = \frac{96}{x}$，是反比例函数。
③质量=密度×体积，即$m = \rho×30$，$m = 30\rho$，是正比例函数，不是反比例函数。
④压强=压力÷受力面积，即$p = \frac{600}{S}$，是反比例函数。
答案：③

4. 在对物体做功一定的情况下,力 $ F(N) $ 与此物体在力的方向上移动的距离 $ s(m) $ 成反比例关系,其图象如图所示. 当力为 $ 20 \, N $ 时,此物体在力的方向上移动的距离是______m.

36

答案： 【解析】：
本题可根据反比例函数的性质，先设出反比例函数的表达式，再将图象上的点代入表达式求出函数关系式，最后将力$F = 20N$代入函数关系式求出物体在力的方向上移动的距离$s$。
步骤一：设反比例函数表达式
因为力$F(N)$与此物体在力的方向上移动的距离$s(m)$成反比例关系，所以设反比例函数表达式为$F=\frac{k}{s}(k\neq0)$。
步骤二：求出$k$的值
已知反比例函数图象过点$P(72,10)$，将点$P(72,10)$代入$F=\frac{k}{s}$中，可得$10 = \frac{k}{72}$，
等式两边同时乘以$72$，解得$k = 10×72 = 720$。
所以反比例函数表达式为$F=\frac{720}{s}$。
步骤三：求出当$F = 20N$时$s$的值
当$F = 20N$时，将$F = 20$代入$F=\frac{720}{s}$中，得到$20=\frac{720}{s}$，
等式两边同时乘以$s$可得$20s = 720$，
等式两边再同时除以$20$，解得$s = 36$。
【答案】：
$36$

5. 将油箱注满 $ k \, L $ 油后,轿车可行驶的总路程 $ s $(单位：km)与平均耗油量 $ a $(单位：L/km)之间满足反比例关系 $ s= \frac{k}{a} $($ k $ 是常数,$ k \neq 0 $). 某轿车油箱注满油后,以平均耗油量为 $ 0.1 \, L/km $ 的油耗速度行驶,可行驶 $ 800 \, km $. 由于天气下雨,司机降低车速,此时平均耗油量增加了一倍,注满油的情况下,司机可以行驶400km.

答案： 解：当$a = 0.1$，$s = 800$时，代入$s=\frac{k}{a}$，得$800=\frac{k}{0.1}$，解得$k = 80$，所以$s=\frac{80}{a}$。
平均耗油量增加一倍后，新的平均耗油量$a'=0.1×2 = 0.2$。
将$a' = 0.2$代入$s=\frac{80}{a}$，得$s=\frac{80}{0.2}=400$。
400

6. 如图所示,在 $ Rt\triangle ABC $ 中,$ \angle ACB= 90^\circ $,顶点 $ A,B $ 都在反比例函数 $ y= \frac{k}{x}(x＞0) $ 的图象上,直线 $ AC \perp x $ 轴,垂足为 $ D $,连接 $ OA,OC $,并延长 $ OC $ 交 $ AB $ 于点 $ E $. 当 $ AB= 2OA $ 时,$ E $ 恰为 $ AB $ 的中点. 若 $ \angle AOD= 45^\circ $,$ OA= 2\sqrt{2} $.
(1)求反比例函数的解析式.
(2)求 $ \angle EOD $ 的大小.

答案：
(1)解：
∵AC⊥x轴，∠AOD=45°，
∴△AOD是等腰直角三角形，
∵OA=2√2，
∴OD=AD=OA·cos45°=2√2×√2/2=2，
∴A(2,2)，
∵点A在反比例函数y=k/x的图象上，
∴k=2×2=4，
∴反比例函数的解析式为y=4/x；
(2)解：设点C的坐标为(2,m)(m＞0)，
则OC的解析式为y=(m/2)x，
∵E为AB的中点，AB=2OA=4√2，
∴AE=EB=2√2，OA=AE=2√2，
设点B的坐标为(n,4/n)(n＞0)，
∵E为AB的中点，A(2,2)，
∴E((2+n)/2,(2+4/n)/2)，
∵点E在OC上，
∴(2+4/n)/2=(m/2)×(2+n)/2，
化简得：(2+4/n)=(m)(2+n)/2，
∵∠ACB=90°，AC=2-m，BC=√[(n-2)²+(4/n - m)²]，AB=4√2，
∴AC²+BC²=AB²，
即(2-m)²+(n-2)²+(4/n - m)²=(4√2)²，
∵OA=AE，A(2,2)，E((2+n)/2,(2+4/n)/2)，
∴√[((2+n)/2 - 2)²+((2+4/n)/2 - 2)²]=2√2，
化简得：((n-2)/2)²+((4/n - 2)/2)²=8，
(n-2)²/4 + (4/n - 2)²/4=8，
(n-2)² + (4/n - 2)²=32，
展开得：n² - 4n + 4 + 16/n² - 16/n + 4=32，
n² + 16/n² - 4n - 16/n=24，
令t=n + 4/n，
则t²=n² + 16/n² + 8，
n² + 16/n²=t² - 8，
-4n - 16/n=-4(n + 4/n)=-4t，
∴t² - 8 - 4t=24，
t² - 4t - 32=0，
(t-8)(t+4)=0，
解得t=8或t=-4(舍去)，
∴n + 4/n=8，
n² - 8n + 4=0，
解得n=4±2√3，
∵n＞2，
∴n=4+2√3或n=4-2√3(舍去，因为4-2√3≈4-3.464=0.536＜2)，
∴n=4+2√3，4/n=4/(4+2√3)=4(4-2√3)/(16-12)=4(4-2√3)/4=4-2√3，
∴B(4+2√3,4-2√3)，
∴E((2+4+2√3)/2,(2+4-2√3)/2)=(3+√3,3-√3)，
∵点E在OC：y=(m/2)x上，
∴3-√3=(m/2)(3+√3)，
m=2(3-√3)/(3+√3)=2(3-√3)(3-√3)/[(3+√3)(3-√3)]=2(9 - 6√3 + 3)/6=2(12 - 6√3)/6=2(2 - √3)=4 - 2√3，
∴OC的解析式为y=((4 - 2√3)/2)x=(2 - √3)x，
设∠EOD=θ，则tanθ=2 - √3，
∵tan15°=2 - √3，
∴θ=15°，即∠EOD=15°。