《2025年作业本江西教育出版社九年级数学全一册人教版》

12. 如图所示,在平面直角坐标系$xOy$中,直线$y= x+3与函数y= \frac{k}{x}(k＞0)的图象交于点A(1,m)$,与$x轴交于点B$.

(1)求$m,k$的值.
(2)过动点$P(n,0)(n＞0)作平行于y$轴的直线,交函数$y= \frac{k}{x}(k＞0)的图象于点C$,交直线$y= x+3于点D$.
①当$n= 2$时,求线段$CD$的长；
②若$CD\leq OB$,结合函数的图象,直接写出$n$的取值范围.

答案： 1. （1）
因为点$A(1,m)$在直线$y = x + 3$上，将$x = 1$代入$y=x + 3$得：
$m=1 + 3=4$。
又因为点$A(1,4)$在函数$y=\frac{k}{x}(k\gt0)$的图象上，将$A(1,4)$代入$y = \frac{k}{x}$得：
$4=\frac{k}{1}$，所以$k = 4$。
2. （2）
①当$n = 2$时：
对于$y=\frac{4}{x}$，当$x = 2$时，$y_C=\frac{4}{2}=2$；
对于$y=x + 3$，当$x = 2$时，$y_D=2 + 3=5$。
所以$CD=y_D - y_C=5 - 2=3$。
②
先求$OB$的值，对于直线$y=x + 3$，令$y = 0$，则$0=x + 3$，解得$x=-3$，所以$B(-3,0)$，$OB = 3$。
因为$P(n,0)(n\gt0)$，$C(n,\frac{4}{n})$，$D(n,n + 3)$，所以$CD=\vert(n + 3)-\frac{4}{n}\vert$。
由$CD\leq OB$，即$\vert(n + 3)-\frac{4}{n}\vert\leq3$，因为$n\gt0$，则$(n + 3)-\frac{4}{n}\leq3$且$(n + 3)-\frac{4}{n}\geq - 3$。
解$(n + 3)-\frac{4}{n}\leq3$：
$n + 3-\frac{4}{n}-3\leq0$，即$n-\frac{4}{n}\leq0$，$\frac{n^{2}-4}{n}\leq0$，$\frac{(n - 2)(n + 2)}{n}\leq0$，因为$n\gt0$，所以$(n - 2)(n + 2)\leq0$且$n\gt0$，解得$0\lt n\leq2$。
解$(n + 3)-\frac{4}{n}\geq - 3$：
$n + 3-\frac{4}{n}+3\geq0$，$n-\frac{4}{n}+6\geq0$，$\frac{n^{2}+6n - 4}{n}\geq0$，对于$y=n^{2}+6n - 4$，其对称轴为$n=-3$，$n^{2}+6n - 4 = 0$的根为$n=\frac{-6\pm\sqrt{36+16}}{2}=\frac{-6\pm\sqrt{52}}{2}=-3\pm\sqrt{13}$，因为$n\gt0$，$n=-3+\sqrt{13}\approx - 3 + 3.61=0.61$，所以$n\geq - 3+\sqrt{13}$（$n\gt0$）。
结合函数图象，$n$的取值范围是$1\leq n\leq2$。
综上，（1）$m = 4$，$k = 4$；（2）①$3$；②$1\leq n\leq2$。