《2025年作业本江西教育出版社九年级数学全一册人教版》

1. 某种商品每件的进价为 20 元,调查表明：在某段时间内若以每件 $ x(20 \leq x \leq 30 $,且 $ x $ 为整数)元出售,可卖出 $ (30 - x) $ 件.若要使利润最大,则每件商品的售价应为25元.

答案： 解：设利润为 $ w $ 元，根据题意得：
$ w=(x - 20)(30 - x) $
展开得：$ w=-x^{2}+50x - 600 $
配方得：$ w=-(x - 25)^{2}+25 $
因为 $ a=-1＜0 $，抛物线开口向下，对称轴为直线 $ x=25 $
又因为 $ 20 \leq x \leq 30 $，且 $ x $ 为整数
所以当 $ x=25 $ 时，$ w $ 有最大值
故每件商品的售价应为 $ 25 $ 元。

2. 某商场将每台进价为 3000 元的电视以 3900 元的销售价售出,每天可销售出 6 台,这种电视每台降价 $ 100x(x $ 为自然数)元,每天可以多销售出 $ 3x $ 台.
(1)降价后每台电视的利润是______元,每天可销售电视______台.设商场每天销售这种电视获得的利润为 $ y $ 元,试写出 $ y $ 与 $ x $ 之间的关系式,并写出 $ x $ 的取值范围(保证商家不亏本).
$(900 - 100x)$$(6 + 3x)$
(2)销售该品牌电视每天获得的最大利润是多少？
解：$y = -300x^2 + 2100x + 5400 = -300(x - 3.5)^2 + 9075$，$\because x$为整数，当$x=3$或$x=4$时，$y_{max} = 9000$元
(3)每台电视的销售价是多少时,电视的销售量和营业额均较高？
解：营业额$= (3900 - 100x)(6 + 3x) = -300x^2 + 10500x + 23400$，对称轴$x = 17.5$，$\because x \leq 9$，$\therefore x=9$时营业额最高，此时售价$3900 - 100×9=3000$元；销售量随$x$增大而增大，$\therefore x=9$时销售量最高，综上，售价$3000$元时，销售量和营业额均较高

答案：
(1)
解：
每台利润：$(3900 - 100x - 3000) = (900 - 100x)$元
每天销售量：$(6 + 3x)$台
$y = (900 - 100x)(6 + 3x) = -300x^2 + 2100x + 5400$
由$900 - 100x \geq 0$得$x \leq 9$，又$x$为自然数，$\therefore 0 \leq x \leq 9$且$x$为整数
(2)
解：
$y = -300x^2 + 2100x + 5400 = -300(x - 3.5)^2 + 9075$
$\because x$为整数，当$x=3$或$x=4$时，$y_{max} = -300(3 - 3.5)^2 + 9075 = 9000$元
(3)
解：
营业额$= (3900 - 100x)(6 + 3x) = -300x^2 + 10500x + 23400$
对称轴$x = 17.5$，$\because x \leq 9$，$\therefore x=9$时营业额最高，此时售价$3900 - 100×9=3000$元
销售量随$x$增大而增大，$\therefore x=9$时销售量最高
综上，售价$3000$元时，销售量和营业额均较高

3. 某超市销售一种进价为 18 元/千克的商品,经市场调查后发现,每天的销售量 $ y $(千克)与销售单价 $ x $(元/千克)有如下表所示的关系：
| 销售单价 $ x $/(元/千克) | ... | 20 | 22.5 | 25 | 37.5 | 40 | ... |
| 销售量 $ y $/千克 | ... | 30 | 27.5 | 25 | 12.5 | 10 | ... |

(1)根据表中的数据在图中描点 $ (x,y) $,并用平滑的曲线连接这些点,请写出 $ y $ 关于 $ x $ 的函数解析式：______.
(2)设该超市每天销售这种商品的利润为 $ w $ 元(不计其他成本).
① 求出 $ w $ 关于 $ x $ 的函数解析式,并求出获得最大利润时,销售单价为多少；
② 超市本着“尽量让顾客享受实惠”的销售原则,求 $ w= 240 $ 时的销售单价.

答案：

(1) 设$y$关于$x$的函数解析式为$y=kx+b$，将$(20,30)$，$(25,25)$代入得：$\begin{cases}20k+b=30\\25k+b=25\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-1\\b=50\end{cases}$，检验其他点满足，故$y=-x + 50$。
(2)① $w=(x - 18)y=(x - 18)(-x + 50)=-x^{2}+68x - 900$，对称轴为$x=-\frac{68}{2×(-1)}=34$，故当销售单价为$34$元时，获得最大利润。
② 令$w=240$，则$-x^{2}+68x - 900=240$，即$x^{2}-68x + 1140=0$，解得$x_{1}=30$，$x_{2}=38$，“尽量让顾客享受实惠”，故取$x=30$。