《2025年作业本江西教育出版社九年级数学全一册人教版》

1. 在Rt△ABC中,如果三条边的长度同时扩大为原来的3倍,那么锐角A的正弦值不变。

答案： 【解析】：
本题主要考察锐角三角函数的定义及性质。在直角三角形中，锐角的正弦值定义为对边长度与斜边长度的比值。当三角形的三边长度同时扩大（或缩小）相同的倍数时，对边与斜边的比值不变，因此锐角的正弦值也不变。
设原三角形$ABC$中，角$A$的对边为$a$，斜边为$c$，那么有$\sin A = \frac{a}{c}$。
当三边长度扩大为原来的3倍时，新的对边长度为$3a$，新的斜边长度为$3c$，此时$\sin A' = \frac{3a}{3c} = \frac{a}{c}$。
由此可见，锐角$A$的正弦值并未发生变化。
【答案】：
不变。

2. 如图所示,在⊙O中,过直径AB延长线上的点C作⊙O的一条切线,切点为D.若AC= 7,AB= 4,则sin C= ______$\frac{2}{5}$.

答案： 【解析】：
本题要求$\sin C$的值，需要构造直角三角形，利用锐角三角函数的定义求解，考查了圆的切线性质、勾股定理以及锐角三角函数的知识点。
连接$OD$，因为$CD$是$\odot O$的切线，所以$OD\perp CD$（圆的切线性质：圆的切线垂直于经过切点的半径）。
已知$AB = 4$，则圆$O$的半径$OD=\frac{AB}{2}=\frac{4}{2}= 2$。
又因为$AC = 7$，所以$OC=AC - AO=7 - 2 = 5$。
在$Rt\triangle DOC$中，根据勾股定理$a^2+b^2=c^2$（其中$a$、$b$为直角边，$c$为斜边），可得$CD=\sqrt{OC^{2}-OD^{2}}=\sqrt{5^{2}-2^{2}}=\sqrt{25 - 4}=\sqrt{21}$。
根据正弦函数的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值，在$Rt\triangle DOC$中，$\sin C=\frac{OD}{OC}$。
【答案】：
解：连接$OD$，
$\because CD$是$\odot O$的切线，
$\therefore OD\perp CD$，
$\because AB = 4$，
$\therefore OD = 2$，
$\because AC = 7$，
$\therefore OC = 5$，
在$Rt\triangle DOC$中，$CD=\sqrt{OC^{2}-OD^{2}}=\sqrt{21}$，
$\therefore\sin C=\frac{OD}{OC}=\frac{2}{5}$。
故答案为$\frac{2}{5}$。

3. 如图所示,在矩形ABCD中,AB= 3,AD= 5,点E在DC上.将矩形ABCD沿AE折叠.若点D恰好落在BC边上的点F处,则sin∠BAF= ______$\frac{4}{5}$.

答案： 【解析】：
本题可先根据矩形的性质和折叠的性质求出$BF$的长度，再利用正弦函数的定义求出$\sin\angle BAF$的值。
步骤一：根据矩形和折叠的性质得到相关线段和角的关系
因为四边形$ABCD$是矩形，所以$\angle B = 90^{\circ}$，$AD = BC = 5$，$AB = DC = 3$。
由折叠可知，$\triangle ADE$与$\triangle AFE$关于直线$AE$对称，所以$AD = AF = 5$，$DE = EF$。
步骤二：在$Rt\triangle ABF$中，利用勾股定理求出$BF$的长度
在$Rt\triangle ABF$中，$\angle B = 90^{\circ}$，$AB = 3$，$AF = 5$，根据勾股定理$a^2+b^2=c^2$（其中$a$、$b$为直角边，$c$为斜边）可得：
$BF = \sqrt{AF^{2} - AB^{2}} = \sqrt{5^{2} - 3^{2}} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$。
步骤三：根据正弦函数的定义求出$\sin\angle BAF$的值
在$Rt\triangle ABF$中，$\angle B = 90^{\circ}$，根据正弦函数的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值，所以$\sin\angle BAF = \frac{BF}{AF}$。
将$BF = 4$，$AF = 5$代入可得：$\sin\angle BAF = \frac{4}{5}$。
【答案】：$\frac{4}{5}$

4. 在Rt△ABC中,若∠C= 90°,sin A= 4/5,AB= 15,则△ABC的周长为36.

答案： 解：在Rt△ABC中，∠C=90°，
∵sin A=BC/AB=4/5，AB=15，
∴BC=AB×sin A=15×4/5=12，
由勾股定理得：AC=√(AB²-BC²)=√(15²-12²)=9，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=15+12+9=36。
36

5. 如图所示,在Rt△ABC中,∠C= 90°,AC= 6,BC= 8.若将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB'C',使点C'落在AB边上,连接BB',则sin∠BB'C'的值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$.

答案： 1. 首先，根据勾股定理求$AB$的长度：
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AC = 6$，$BC = 8$，由勾股定理$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}$。
则$AB=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=\sqrt{36 + 64}=\sqrt{100}=10$。
2. 然后，根据旋转的性质：
因为$\triangle ABC$绕点$A$逆时针旋转得到$\triangle AB'C'$，所以$AC = AC'=6$，$BC = B'C' = 8$，$AB = AB'=10$。
那么$BC'=AB - AC'=10 - 6 = 4$。
3. 接着，在$Rt\triangle BB'C'$中：
根据勾股定理求$BB'$的长度，$BB'=\sqrt{B'C'^{2}+BC'^{2}}$。
把$B'C' = 8$，$BC' = 4$代入得$BB'=\sqrt{8^{2}+4^{2}}=\sqrt{64 + 16}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$。
4. 最后，求$\sin\angle BB'C'$的值：
在$Rt\triangle BB'C'$中，根据正弦函数的定义$\sin\angle BB'C'=\frac{BC'}{BB'}$。
把$BC' = 4$，$BB' = 4\sqrt{5}$代入得$\sin\angle BB'C'=\frac{4}{4\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。
故答案为$\frac{\sqrt{5}}{5}$。

6. 如图所示,在Rt△ABC中,∠C= 90°,求图①和图②中sin A和sin B的值.
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答案： 【解析】：
本题主要考查锐角三角函数值，即正弦值的计算。
在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于它的对边与斜边的比值。
对于图①：
已知在$Rt \bigtriangleup ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AC = 6$，$BC = 8$。
根据勾股定理$AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}$，可求出斜边$AB$的长度。
对于$\angle A$，$\sin A=\frac{对边}{斜边}=\frac{BC}{AB}$。
对于$\angle B$，$\sin B=\frac{对边}{斜边}=\frac{AC}{AB}$。
对于图②：
同样在$Rt \bigtriangleup ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$BC = 5$，$AB = 12$。
对于$\angle A$，$\sin A=\frac{对边}{斜边}=\frac{BC}{AB}$。
对于$\angle B$，$\sin B=\frac{对边}{斜边}=\frac{AC}{AB}$，需要先根据勾股定理求出$AC$的长度。
【答案】：
解：图①：
在$Rt \bigtriangleup ABC$中，根据勾股定理$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=\sqrt{36 + 64}=\sqrt{100}=10$。
$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$。
$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$。
图②：
在$Rt \bigtriangleup ABC$中，根据勾股定理$AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{12^{2}-5^{2}}=\sqrt{144 - 25}=\sqrt{119}$。
$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{5}{12}$。
$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{119}}{12}$。

7. 如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB= 90°,CD⊥AB于点D,AC= 4,sin A= 4/5.
(1)求CD的值.
(2)求sin∠BCD的值.
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答案： 【解析】：本题主要考查了锐角三角函数以及直角三角形的性质。
（1）在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，已知$AC = 4$，$\sin A=\frac{4}{5}$。
根据正弦函数的定义$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{4}{5}$，设$BC = 4x$，$AB = 5x$。
再根据勾股定理$AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}$，即$(5x)^{2}=4^{2}+(4x)^{2}$。
展开式子得$25x^{2}=16 + 16x^{2}$。
移项可得$25x^{2}-16x^{2}=16$，即$9x^{2}=16$，解得$x=\frac{4}{3}$（$x\gt0$，因为边长不能为负）。
所以$AB = 5×\frac{4}{3}=\frac{20}{3}$。
根据三角形面积公式$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}AB\cdot CD$。
已知$AC = 4$，$BC = 4×\frac{4}{3}=\frac{16}{3}$，$AB=\frac{20}{3}$，则$\frac{1}{2}×4×\frac{16}{3}=\frac{1}{2}×\frac{20}{3}× CD$。
化简可得$\frac{32}{3}=\frac{20}{3}× CD$，解得$CD=\frac{16}{5}$。
（2）因为在$Rt\triangle BCD$中，$\angle BDC = 90^{\circ}$，$CD=\frac{16}{5}$。
由（1）可知$BC=\frac{16}{3}$，根据正弦函数的定义$\sin\angle BCD=\frac{BD}{BC}$。
在$Rt\triangle ABC$中，$AD=\sqrt{AC^{2}-CD^{2}}=\sqrt{4^{2}-(\frac{16}{5})^{2}}=\sqrt{\frac{400 - 256}{25}}=\sqrt{\frac{144}{25}}=\frac{12}{5}$。
$BD=AB - AD=\frac{20}{3}-\frac{12}{5}=\frac{100 - 36}{15}=\frac{64}{15}$。
所以$\sin\angle BCD=\frac{BD}{BC}=\frac{\frac{64}{15}}{\frac{16}{3}}=\frac{64}{15}×\frac{3}{16}=\frac{4}{5}$。
另一个方法：
因为$\angle ACB = 90^{\circ}$，$CD\perp AB$，所以$\angle A+\angle B = 90^{\circ}$，$\angle BCD+\angle B = 90^{\circ}$，则$\angle BCD=\angle A$。
所以$\sin\angle BCD=\sin A=\frac{4}{5}$。
【答案】：
(1)$CD=\frac{16}{5}$；
(2)$\sin\angle BCD=\frac{4}{5}$。