《2025年作业本江西教育出版社九年级数学全一册人教版》

18.甲、乙两名同学玩转盘游戏,游戏规则：如图所示,将圆盘平均分成三份,分别涂满红、黄、绿三种颜色,两名同学分别转动转盘一次(若压线,则重新转).若两次指针指到的颜色相同,则甲获胜；若两次指针指到的颜色是黄、绿组合,则乙获胜；其余情况则视为平局.

(1)请用列表或画树状图的方法,写出所有可能出现的结果；
(2)试用概率说明游戏是否公平.

答案：
(1) 解：列表如下：
| 甲 \ 乙 | 红 | 黄 | 绿 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 红 | (红,红) | (红,黄) | (红,绿) |
| 黄 | (黄,红) | (黄,黄) | (黄,绿) |
| 绿 | (绿,红) | (绿,黄) | (绿,绿) |
所有可能结果：(红,红)、(红,黄)、(红,绿)、(黄,红)、(黄,黄)、(黄,绿)、(绿,红)、(绿,黄)、(绿,绿)，共9种。
(2) 解：由
(1)知共有9种等可能结果。
甲获胜的结果有(红,红)、(黄,黄)、(绿,绿)，共3种，$P(甲获胜)=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
乙获胜的结果有(黄,绿)、(绿,黄)，共2种，$P(乙获胜)=\frac{2}{9}$。
因为$\frac{1}{3} \neq \frac{2}{9}$，所以游戏不公平。

19.如图所示,已知BC是$\odot O$的直径,D是BC延长线上的一点,$AB = AD$,AE是$\odot O$的弦,$\angle AEC = 30^\circ$.
(1)求证：直线AD是$\odot O$的切线.
(2)若$AE \perp BC$,垂足为M,$\odot O$的半径为10,求AE的长.

答案： 1. （1）**证明直线$AD$是$\odot O$的切线**：
解：连接$OA$。
因为$\angle AEC = 30^{\circ}$，根据同弧所对的圆周角与圆心角的关系：$\angle ABC=\angle AEC = 30^{\circ}$（同弧$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角相等）。
又因为$OA = OB$（同圆半径相等），所以$\angle OAB=\angle ABC = 30^{\circ}$。
已知$AB = AD$，则$\angle D=\angle ABC = 30^{\circ}$。
根据三角形内角和定理$\angle BAD=180^{\circ}-\angle ABC - \angle D=180^{\circ}-30^{\circ}-30^{\circ}=120^{\circ}$。
所以$\angle OAD=\angle BAD-\angle OAB=120^{\circ}-30^{\circ}=90^{\circ}$，即$OA\perp AD$。
又因为$OA$是$\odot O$的半径，所以直线$AD$是$\odot O$的切线。
2. （2）**求$AE$的长**：
解：因为$\angle AEC = 30^{\circ}$，所以$\angle AOC = 2\angle AEC=60^{\circ}$（同弧$\overset{\frown}{AC}$所对的圆心角是圆周角的$2$倍）。
因为$AE\perp BC$，$BC$是直径，根据垂径定理：$AE = 2AM$。
在$Rt\triangle AOM$中，$OA = 10$，$\sin\angle AOM=\frac{AM}{OA}$。
由于$\angle AOM = 60^{\circ}$，所以$AM = OA\sin\angle AOM$。
把$OA = 10$，$\angle AOM = 60^{\circ}$代入可得：$AM = 10×\sin60^{\circ}=10×\frac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}$。
则$AE = 2AM=10\sqrt{3}$。
综上，（1）直线$AD$是$\odot O$的切线得证；（2）$AE$的长为$10\sqrt{3}$。