《2025年作业本江西教育出版社九年级数学全一册人教版》

10. 如图所示,$\triangle ABC与\triangle DEF$是位似图形,位似中心为$O$。若$OA:AD = 3:4$,$S_{\triangle ABC} = 9$,则$\triangle DEF$的面积为______。

49

答案： 【解析】：本题考查位似图形的性质。
位似图形的性质：位似图形的任意一对对应点与位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比，而两个位似图形面积比等于相似比的平方。
已知$OA:AD = 3:4$，那么$OA:(OA + AD)=OA:OD = 3:(3 + 4)=3:7$。
因为$\triangle ABC$与$\triangle DEF$是位似图形，所以$\triangle ABC\sim\triangle DEF$，且相似比$k = \frac{OA}{OD}=\frac{3}{7}$。
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，设$\triangle DEF$的面积为$S$，则$\frac{S_{\triangle ABC}}{S}=(\frac{3}{7})^2$。
已知$S_{\triangle ABC}=9$，代入可得$\frac{9}{S}=\frac{9}{49}$，解得$S = 49$。
【答案】：$49$

11. 在同一平面直角坐标系中,反比例函数$y = \frac{k}{x}(k \neq 0)与一次函数y = ax + b(a \neq 0)$的图象如图所示。若交点坐标$A(2,3)$,$B(m,-2)$,则不等式$ax + b ＞ \frac{k}{x}$的解集为$-3\lt x\lt0$或$x\gt2$。

答案： 1. 首先求反比例函数解析式：
已知反比例函数$y = \frac{k}{x}(k\neq0)$过点$A(2,3)$，将$x = 2$，$y = 3$代入$y=\frac{k}{x}$中，根据$y=\frac{k}{x}$可得$k=xy$。
则$k = 2×3=6$，所以反比例函数解析式为$y=\frac{6}{x}$。
又因为点$B(m, - 2)$在$y=\frac{6}{x}$上，将$y=-2$代入$y = \frac{6}{x}$，即$-2=\frac{6}{m}$，解得$m=-3$。
2. 然后分析不等式$ax + b\gt\frac{k}{x}$的解集：
不等式$ax + b\gt\frac{k}{x}$的解集，就是一次函数$y = ax + b$的图象在反比例函数$y=\frac{k}{x}$图象上方时$x$的取值范围。
从图象上看，当$-3\lt x\lt0$或$x\gt2$时，一次函数$y = ax + b$的图象在反比例函数$y=\frac{6}{x}$图象上方。
所以不等式$ax + b\gt\frac{k}{x}$的解集为$-3\lt x\lt0$或$x\gt2$。

12. 如图所示,在平面直角坐标系中,$O$为坐标原点,四边形$ABCD$是平行四边形,点$A$,$B$,$C的坐标分别为A(0,4)$,$B(-2,0)$,$C(8,0)$,$E是BC$的中点,$P为线段AD$上的动点。若$\triangle BEP是以BE$为腰的等腰三角形,则点$P$的坐标为______。

(0,4)，(1,4)，(6,4)

答案： 解：
∵四边形ABCD是平行四边形，A(0,4)，B(-2,0)，C(8,0)，
∴D(10,4)，AD//BC，AD=BC=10，点P在AD上，设P(t,4)(0≤t≤10)。
∵E是BC中点，B(-2,0)，C(8,0)，
∴E(3,0)，BE=5。
情况1：BE=BP=5
∵B(-2,0)，P(t,4)，
∴√[(t+2)²+(4-0)²]=5，
解得t=-5(舍)或t=1，
∴P(1,4)。
情况2：BE=EP=5
∵E(3,0)，P(t,4)，
∴√[(t-3)²+(4-0)²]=5，
解得t=0或t=6，
∴P(0,4)或(6,4)。
综上，点P的坐标为(0,4)或(1,4)或(6,4)。
答案：(0,4)，(1,4)，(6,4)

13. (1)解方程$x^2 - 2x = 0$；
(2)如图所示,$E是矩形ABCD的边CD$上一点,$BF \perp AE于点F$,求证：$\triangle ABF \sim \triangle EAD$。

答案：
(1)解：$x^2 - 2x = 0$
$x(x - 2) = 0$
$x = 0$或$x - 2 = 0$
$x_1 = 0$，$x_2 = 2$
(2)证明：
∵四边形$ABCD$是矩形
∴$\angle D = 90^\circ$，$AB // CD$
∴$\angle BAF = \angle AED$
∵$BF \perp AE$
∴$\angle AFB = 90^\circ = \angle D$
∴$\triangle ABF \sim \triangle EAD$

14. 已知蓄电池的电压为定值,使用蓄电池时,电流$I$(单位：A)与电阻$R$(单位：$\Omega$)成反比例函数关系,某个蓄电池工作时的图象如图所示。
(1)求这个反比例函数的解析式。(不要求写出自变量$R$的取值范围)
(2)当电阻$R$为12 $\Omega$时,求此时的电流$I$。

答案： 【解析】：
本题可根据反比例函数的性质，结合图象所给信息求出反比例函数的解析式，再将电阻值代入解析式求出对应的电流值。
（1）求反比例函数的解析式
步骤一：设反比例函数解析式
因为电流$I$与电阻$R$成反比例函数关系，所以设反比例函数的解析式为$I = \frac{k}{R}(k\neq 0)$。
步骤二：求$k$的值
已知图象经过点$(15, 6)$，将$R = 15$，$I = 6$代入$I = \frac{k}{R}$中，可得$6 = \frac{k}{15}$。
求解上述方程，两边同时乘以$15$，得到$k = 6×15 = 90$。
步骤三：确定反比例函数解析式
将$k = 90$代入$I = \frac{k}{R}$中，得到反比例函数的解析式为$I = \frac{90}{R}$。
（2）求当电阻$R$为$12\Omega$时的电流$I$
将$R = 12$代入$I = \frac{90}{R}$中，可得$I = \frac{90}{12} = 7.5$（A）。
【答案】：
(1)$I = \frac{90}{R}$；
(2)当电阻$R$为$12\Omega$时，电流$I$为$7.5A$。