《2025年作业本江西教育出版社九年级数学全一册人教版》

1. 在Rt△ABC中,若∠C= 90°,sin A= 4/5,则cos B= 4/5,tan B= 3/4.

答案： 解：在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴cos B=sin A=4/5，
∵sin A=4/5，设BC=4k，AB=5k（k＞0），
则AC=√(AB²-BC²)=√[(5k)²-(4k)²]=3k，
∴tan B=AC/BC=3k/4k=3/4。
故答案为：4/5；3/4。

2. 在Rt△ABC中,若∠C= 90°,∠A= α,BC= 2,则AB的长等于$\frac{2}{\sin\alpha}$.

答案： 【解析】：
本题主要考查锐角三角函数在直角三角形中的应用。在$Rt \bigtriangleup ABC$中，已知$\angle C= 90^{\circ}$，$\angle A= \alpha$，以及$BC= 2$。
根据正弦函数的定义，在直角三角形中，$\sin A = \frac{对边}{斜边} = \frac{BC}{AB}$。
由此，可以解出$AB$，即$AB = \frac{BC}{\sin A} = \frac{2}{\sin\alpha}$。
【答案】：
$\frac{2}{\sin\alpha}$

3. 如图所示,在顶角为30°的等腰三角形ABC中,AB= AC.若过点C作CD⊥AB于点D,则∠BCD= 15°.根据图形计算tan 15°的值为______2 - √3.

答案： 【解析】：本题可通过设未知数，利用直角三角形的边角关系来求解$\tan15^{\circ}$的值。
在$Rt\triangle ADC$中，$\angle A = 30^{\circ}$，设$CD = x$，根据$30^{\circ}$所对的直角边是斜边的一半，可得$AC = 2x$，再根据勾股定理可求出$AD$的长度。
在$Rt\triangle BDC$中，$\angle BCD = 15^{\circ}$，$CD = x$，且$AB = AC$，可先求出$BD$的长度，最后根据正切函数的定义$\tan\alpha=\frac{对边}{邻边}$求出$\tan15^{\circ}$。
【答案】：解：设$CD = x$。
在$Rt\triangle ADC$中，$\angle A = 30^{\circ}$，$\angle ADC = 90^{\circ}$，因为$30^{\circ}$所对的直角边是斜边的一半，所以$AC = 2x$。
根据勾股定理$AD=\sqrt{AC^{2}-CD^{2}}=\sqrt{(2x)^{2}-x^{2}}=\sqrt{4x^{2}-x^{2}}=\sqrt{3}x$。
因为$AB = AC = 2x$，所以$BD = AB - AD = 2x - \sqrt{3}x=(2 - \sqrt{3})x$。
在$Rt\triangle BDC$中，$\angle BDC = 90^{\circ}$，根据正切函数的定义$\tan\angle BCD=\frac{BD}{CD}$，已知$\angle BCD = 15^{\circ}$，$CD = x$，$BD=(2 - \sqrt{3})x$，所以$\tan15^{\circ}=\frac{BD}{CD}=\frac{(2 - \sqrt{3})x}{x}=2 - \sqrt{3}$。
故答案为$2 - \sqrt{3}$。

4. 如图所示,A,B,C三点在正方形网格线的交点处.若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AB'C',则tan B'的值为$\frac{1}{3}$.

答案： 1. 首先，根据旋转的性质：
旋转前后对应角相等，所以$\angle B'=\angle B$。
2. 然后，利用正切函数的定义$\tan\alpha=\frac{对边}{邻边}$（设$\alpha$为锐角）：
设每个小正方形的边长为$1$，在$Rt\triangle ABC$中（过$C$作$AB$的垂线，垂足为$D$，这里可通过网格直接数边长关系），$\tan B=\frac{1}{3}$。
所以$\tan B'$的值为$\frac{1}{3}$。

5. 如图所示,在四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点.如果EF= 2,BC= 5,CD= 3,那么tan C的值是______$\frac{4}{3}$.

答案： 【解析】：
本题可先根据三角形中位线定理求出$BD$的长度，再根据勾股定理的逆定理判断$\triangle BCD$的形状，最后根据锐角三角函数的定义求出$\tan C$的值。
连接$BD$，因为$E$，$F$分别是$AB$，$AD$的中点，所以$EF$是$\triangle ABD$的中位线。
根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半，可得$BD = 2EF$。
已知$EF = 2$，则$BD = 2×2 = 4$。
在$\triangle BCD$中，$BC = 5$，$CD = 3$，$BD = 4$，计算$BD^{2}+CD^{2}$和$BC^{2}$的值：
$BD^{2}+CD^{2}=4^{2}+3^{2}=16 + 9 = 25$，$BC^{2}=5^{2}=25$。
所以$BD^{2}+CD^{2}=BC^{2}$，根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长$a$，$b$，$c$满足$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，那么这个三角形是直角三角形，其中$c$为斜边，可得$\triangle BCD$是直角三角形，且$\angle BDC = 90^{\circ}$。
根据锐角三角函数的定义：在直角三角形中，一个锐角的正切值等于它的对边与邻边的比值，在$Rt\triangle BCD$中，$\tan C=\frac{BD}{CD}$。
已知$BD = 4$，$CD = 3$，所以$\tan C=\frac{4}{3}$。
【答案】：$\frac{4}{3}$

6. 如图所示,在平面直角坐标系内,O为原点,点A的坐标为(10,0),点B在第一象限内,BO= 5,sin∠BOA= 3/5.
(1)求点B的坐标.
(2)求cos∠BAO的值.
]

答案：
(1)解：过点B作BC⊥OA于点C，
则∠BCO=90°，
在Rt△BOC中，sin∠BOA=BC/BO=3/5，BO=5，
∴BC=3，
由勾股定理得：OC=√(BO²-BC²)=√(5²-3²)=4，
∵点B在第一象限，
∴点B的坐标为(4,3)。
(2)解：
∵点A的坐标为(10,0)，点B的坐标为(4,3)，
∴OA=10，AC=OA-OC=10-4=6，
在Rt△ABC中，AB=√(AC²+BC²)=√(6²+3²)=3√5，
∴cos∠BAO=AC/AB=6/(3√5)=2√5/5。

7. 如图所示,已知AB是⊙O的直径,点C,D在⊙O上,且AB= 6,BC= 3.
(1)求sin∠BAC的值.
(2)若OE⊥AC,垂足为E,求OE的长.
(3)求tan∠ADC的值(结果保留根号).
]

答案： 【解析】：本题主要考查了圆周角定理、正弦函数、正切函数的定义以及垂径定理等知识点。
（1）根据圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，所以$\angle ACB = 90^\circ$。
已知$AB = 6$，$BC = 3$，根据正弦函数的定义，$\sin\angle BAC =\frac{BC}{AB}$，代入已知值求解。
（2）根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，所以$OE$是$\bigtriangleup ABC$的中位线。
利用中位线的性质，$OE = \frac{1}{2}BC$，代入已知值求解。
（3）根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，所以$\angle ADC = \angle ABC$。
在直角三角形$ABC$中，利用勾股定理求出$AC$的长度，再根据正切函数的定义，$\tan\angle ABC = \frac{AC}{BC}$，代入已知值和求得的$AC$值求解。
【答案】：
(1)因为$AB$是$\odot O$的直径，
所以$\angle ACB = 90^{\circ}$，
在$Rt\bigtriangleup ABC$中，$AB = 6$，$BC = 3$，
所以$\sin\angle BAC =\frac{BC}{AB}= \frac{3}{6}=\frac{1}{2}$；
(2)因为$OE\bot AC$，垂足为E，
所以$AE = CE$，
因为$OA = OB$，
所以$OE$为$\bigtriangleup ABC$的中位线，
所以$OE = \frac{1}{2}BC = \frac{3}{2}$；
(3)在$Rt\bigtriangleup ABC$中
$AC = \sqrt{AB^{2} - BC^{2}} = \sqrt{6^{2} - 3^{2}} = 3\sqrt{3}$，
因为$\angle ADC$与$\angle ABC$都是弧$AC$所对的圆周角，
所以$\angle ADC = \angle ABC$，
所以$\tan\angle ADC = \tan\angle ABC =\frac{AC}{BC}= \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$。