《2025年作业本江西教育出版社九年级数学全一册人教版》

1. 下列方程为一元二次方程的是(D)
A.$x + 2y = 1$
B.$2x(x - 1) = 2x^2 + 3$
C.$3x + \frac{1}{x} = 4$
D.$x^2 = 0$

答案： 【解析】：
本题主要考察一元二次方程的定义和识别。
一元二次方程必须满足四个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0；
（3）是整式方程；
（4）含有一个未知数。
由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案。
A. $x + 2y = 1$：此方程含有两个未知数x和y，因此不是一元二次方程，而是二元一次方程，所以A选项错误。
B. $2x(x - 1) = 2x^2 + 3$：
首先，我们将方程展开并整理：
$2x^2 - 2x = 2x^2 + 3$
$-2x = 3$
这是一个一元一次方程，因为它在整理后只含有一个未知数x的一次项，并没有二次项（或者说二次项相互抵消了）。
所以B选项错误。
C. $3x + \frac{1}{x} = 4$：
此方程中，未知数x出现在分母位置，因此它不是整式方程。根据一元二次方程的定义，它必须是整式方程，所以C选项错误。
D. $x^2 = 0$：
此方程只含有一个未知数x，且x的最高次数为2，二次项系数不为0（实际上是1），并且是整式方程。因此，它满足一元二次方程的所有条件，所以D选项正确。
【答案】：
D

2. 一元二次方程$(x + 1)(x - 1) = 2x + 3$的根的情况是(C)
A.只有一个实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.没有实数根

答案： 【解析】：
首先，我们将原方程$(x + 1)(x - 1) = 2x + 3$进行展开和整理，得到一元二次方程的标准形式：
$x^2 - 1 = 2x + 3$
$x^2 - 2x - 4 = 0$
接下来，我们计算判别式$\Delta$，它用于判断一元二次方程的根的情况：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 × 1 × (-4) = 4 + 16 = 20$
由于$\Delta ＞ 0$，根据一元二次方程的根的判别法则，我们知道方程有两个不相等的实数根。
【答案】：
C. 有两个不相等的实数根。

3. 方程$x(10 - x) = 24$的两个实数根分别为$x_{1} = 4$，$x_{2} = 6$.

答案： 【解析】：
首先，我们将原方程$x(10 - x) = 24$展开，得到：
$10x - x^{2} = 24$，
移项，得到一元二次方程的标准形式：
$x^{2} - 10x + 24 = 0$，
接下来，我们利用因式分解法来解这个一元二次方程。
寻找两个数，它们的和为-10，且它们的乘积为24。这两个数分别是-4和-6。
因此，我们可以将方程$x^{2} - 10x + 24 = 0$因式分解为：
$(x - 4)(x - 6) = 0$，
由此，我们可以得到两个方程：
$x - 4 = 0$ 或 $x - 6 = 0$，
解得：
$x_{1} = 4$，$x_{2} = 6$。
【答案】：
$x_{1} = 4$，$x_{2} = 6$。

4. 已知$x_1,x_2是方程x^2 - 10x + 23 = 0$的两个实数根,下列结论正确的是______(填序号).
①$x_1 + x_2 = 10$；②$\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{50}{23}$；③$x_1^2 - 9x_1 + x_2 = -13$.
①③

答案： 【解析】：
本题主要考察一元二次方程的根与系数的关系以及代数式的化简和计算。
对于一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，其两个根 $x_1$ 和 $x_2$ 满足：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$，
对于方程 $x^2 - 10x + 23 = 0$，有 $a = 1, b = -10, c = 23$。
所以$x_1 + x_2 = -\frac{-10}{1} = 10$，$x_1 \cdot x_2 = \frac{23}{1} = 23$。
接下来，我们逐一验证题目中的结论：
① $x_1 + x_2 = 10$，与上面计算的结果一致，所以①正确。
② 对于 $\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1}$，我们可以将其转化为：
$\frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1 \cdot x_2} = \frac{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1 \cdot x_2}{x_1 \cdot x_2}$，
代入 $x_1 + x_2 = 10$ 和 $x_1 \cdot x_2 = 23$，得到：
$\frac{10^2 - 2 × 23}{23} = \frac{100 - 46}{23} = \frac{54}{23} \neq \frac{50}{23}$，
所以②错误。
③ 对于 $x_1^2 - 9x_1 + x_2$，我们可以利用 $x_1^2 = 10x_1 - 23$（由 $x_1^2 - 10x_1 + 23 = 0$ 得出）进行化简：
$x_1^2 - 9x_1 + x_2 = (10x_1 - 23) - 9x_1 + x_2 = x_1 + x_2 - 23 = 10 - 23 = -13$，
所以③正确。
【答案】：
①③

5. 有一条长为20 m的篱笆,怎样用它围成一个面积为$24\ m^2$的矩形？

答案： 解：设矩形的长为 $ x $ m，则宽为 $ (10 - x) $ m。
根据题意，得 $ x(10 - x) = 24 $。
整理，得 $ x^2 - 10x + 24 = 0 $。
解得 $ x_1 = 6 $，$ x_2 = 4 $。
当 $ x = 6 $ 时，宽为 $ 10 - 6 = 4 $ m；当 $ x = 4 $ 时，宽为 $ 10 - 4 = 6 $ m（长和宽互换，矩形相同）。
答：围成一个长为6 m，宽为4 m的矩形。

6. 把长为20 m的篱笆分成两段,并把每段篱笆围成一个正方形.若要使这两个正方形的面积的和等于$13\ m^2$,应该怎样分？

答案： 【解析】：
本题主要考察一元二次方程的建立与求解。
设其中一个正方形的边长为$x$米，由于篱笆总长为20米，且要分成两段围成两个正方形，因此另一个正方形的边长可以表示为$\frac{20 - 4x}{4} = 5 - x$米（因为正方形的四条边等长，所以每段篱笆的长度应除以4得到正方形的边长）。
根据题目条件，两个正方形的面积和为13平方米，因此可以建立方程：
$x^2 + (5 - x)^2 = 13$，
展开并整理得：
$x^2 + 25 - 10x + x^2 = 13$，
$2x^2 - 10x + 12 = 0$，
$x^2 - 5x + 6 = 0$，
接下来，我们解这个一元二次方程。
因为$x^2 - 5x + 6 = 0$，
所以$(x - 2)(x - 3) = 0$，
解得$x_1 = 2$，$x_2 = 3$。
当$x = 2$时，另一个正方形的边长为$5 - 2 = 3$米，此时两段篱笆的长度分别为$4 × 2 = 8$米和$4 × 3 = 12$米；
当$x = 3$时，另一个正方形的边长为$5 - 3 = 2$米，此时两段篱笆的长度也分别为$4 × 3 = 12$米和$4 × 2 = 8$米。
由于两种情况下的篱笆分段方式是一样的（只是正方形的边长互换），所以只需给出一种分段方式即可。
【答案】：
解：设其中一个正方形的边长为$x$米，则另一个正方形的边长为$(5 - x)$米，
根据题意，我们可以列出方程：
$x^2 + (5 - x)^2 = 13$，
解这个方程，我们得到：
$x_1 = 2$，$x_2 = 3$，
所以，应该把长为20米的篱笆分成8米和12米的两段。

7. 如图所示,一农户要建一个矩形鸡舍,为了节省材料,鸡舍的一边利用长为10 m的墙,另外三边用长为20 m的篱笆围成.为方便进出,在垂直于墙的一边留下一个宽为1 m的门.当所围成的矩形鸡舍的长、宽分别是多少米时,鸡舍的面积为$45\ m^2$？

答案： 解：设矩形鸡舍垂直于墙的一边长为 $ x $ 米，则平行于墙的一边长为 $ (20 - 2x + 1) $ 米，即 $ (21 - 2x) $ 米。
根据题意，得 $ x(21 - 2x) = 45 $。
整理，得 $ 2x^2 - 21x + 45 = 0 $。
解得 $ x_1 = 3 $，$ x_2 = 7.5 $。
当 $ x = 3 $ 时，$ 21 - 2x = 15 $，因为墙长 10 米，$ 15 ＞ 10 $，不合题意，舍去；
当 $ x = 7.5 $ 时，$ 21 - 2x = 6 $，$ 6 ＜ 10 $，符合题意。
答：矩形鸡舍的长为 10 米（利用墙的长度），宽为 6 米。