《2025年作业本江西教育出版社九年级数学全一册人教版》

1. 下列现象：①时针转动；②转呼啦圈；③荡秋千；④传送带上物品的运动.其中属于旋转的有①③(填序号).

答案： 解：①③

2. 如图所示,在等腰直角三角形AB'C'中,∠B'= 90°,将△AB'C'绕顶点A旋转一定的角度后得到△ABC.若∠CAB'= 15°,则旋转中心是A,旋转方向是逆时针,旋转角度是60°.

答案： 旋转中心是$A$，旋转方向是逆时针，旋转角度是$60^{\circ}$。

3. 将△AOB绕点O逆时针方向旋转45°后得到△COD,如图所示.若∠AOB= 15°,则∠AOD= ______.

30°

答案： 【解析】：本题考查图形旋转的性质。
根据旋转的性质可知，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
已知$\triangle AOB$绕点$O$逆时针方向旋转$45^{\circ}$后得到$\triangle COD$，所以$\angle BOD = 45^{\circ}$。
又已知$\angle AOB = 15^{\circ}$，要求$\angle AOD$，根据角的和差关系，$\angle AOD=\angle BOD - \angle AOB$。
【答案】：$\angle AOD = 45^{\circ}- 15^{\circ}=30^{\circ}$。
故答案为$30^{\circ}$。

4. 将△ABD绕点A顺时针旋转得到△ACE,点C正好落在BD边上,如图所示.若∠B= 80°,则∠EAD= 20°.

答案： 解：
∵△ABD绕点A顺时针旋转得到△ACE，
∴∠BAD=∠CAE，AB=AC，∠ACE=∠B=80°，
∴∠BAC=180°-2∠B=180°-2×80°=20°，
∵∠CAE=∠BAD，
∴∠CAE-∠CAD=∠BAD-∠CAD，即∠EAD=∠BAC=20°。
20°

5. 如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB= 90°,AC= 3,BC= 4.将△ABC绕着点B旋转得到△A'BC',且点A的对应点A'落在BC的延长线上,连接AA',则AA'的长为$\sqrt{10}$.

答案： 1. 首先，根据勾股定理求$AB$的长度：
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$AC = 3$，$BC = 4$，由勾股定理$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}$。
则$AB=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9 + 16}=\sqrt{25}=5$。
2. 然后，根据旋转的性质：
因为$\triangle ABC$绕着点$B$旋转得到$\triangle A'BC'$，所以$BA'=BA = 5$。
又因为$A'$在$BC$的延长线上，$BC = 4$，所以$A'C=BA'-BC$，$A'C = 5 - 4=1$。
3. 最后，在$Rt\triangle AA'C$中求$AA'$的长度：
在$Rt\triangle AA'C$中，$AC = 3$，$A'C = 1$，根据勾股定理$AA'=\sqrt{AC^{2}+A'C^{2}}$。
所以$AA'=\sqrt{3^{2}+1^{2}}=\sqrt{9 + 1}=\sqrt{10}$。
故答案为$\sqrt{10}$。

6. 在平面直角坐标系中,若将点A(2,3)绕点O按逆时针方向旋转90°,则点A的对应点的坐标为(-3, 2).

答案： 【解析】：
本题主要考查平面直角坐标系中图形的旋转性质。
在平面直角坐标系中，一个点绕原点逆时针旋转$90^\circ$的坐标变换规律是：$(x, y)$变为$(-y, x)$。
这是因为，在旋转过程中，原点的$x$坐标会变成新点的$y$坐标的相反数，原点的$y$坐标会变成新点的$x$坐标。
具体到本题，点$A(2,3)$绕点$O$按逆时针方向旋转$90^\circ$，根据坐标变换规律，新点的坐标为$(-3, 2)$。
【答案】：
$(-3, 2)$。

7. 如图所示,点A在射线OX上,OA= a.如果OA绕点O按逆时针方向旋转n°(0＜n≤360)到OA',那么点A'的位置可以用(a,n°)表示.
(1)按上述表示方法,若a= 3,n= 37,则点A'的位置可以表示为(3,37°).
(2)在(1)的条件下,已知点B的位置用(3,74°)表示,连接A'A,A'B,求证A'A= A'B.

证明：
因为点$A'$的位置为$(3,37^{\circ})$，点$B$的位置为$(3,74^{\circ})$，
所以$OA' = OB = 3$，$\angle A'OA = 37^{\circ}$，$\angle BOD = 74^{\circ}$（设射线$OX$另一侧辅助线为$OD$），
则$\angle A'OB=\angle BOD - \angle A'OA=74^{\circ}- 37^{\circ}=37^{\circ}$，
所以$\angle A'OA = \angle A'OB$。
在$\triangle A'OA$和$\triangle A'OB$中，
$\begin{cases}OA' = OA'\\\angle A'OA = \angle A'OB\\OA = OB\end{cases}$
根据全等三角形判定定理（$SAS$：两边及其夹角对应相等的三角形全等），
可得$\triangle A'OA\cong\triangle A'OB$，
所以$A'A = A'B$。

答案： 【解析】：
(1)本题考查对题目所给新定义的理解，根据题目中“点$A$在射线$OX$上，$OA = a$，$OA$绕点$O$按逆时针方向旋转$n^{\circ}(0\lt n\leq360)$到$OA'$，点$A'$的位置可以用$(a,n^{\circ})$表示”，当$a = 3$，$n = 37$时，直接代入该表示方法即可得到点$A'$的位置。
(2)本题可根据点$A'$和点$B$的位置表示，结合图形旋转的性质，通过证明三角形全等来证明$A'A = A'B$。
已知点$A'$的位置为$(3,37^{\circ})$，点$B$的位置为$(3,74^{\circ})$，则$OA'=OB = 3$，$\angle A'OA = 37^{\circ}$，$\angle BOD = 74^{\circ}$（设射线$OX$另一侧辅助线为$OD$），进而可推出$\angle A'OB$的度数，再根据全等三角形的判定定理证明$\triangle A'OA\cong\triangle A'OB$，从而得到$A'A = A'B$。
【答案】：
(1)$(3,37^{\circ})$
(2)证明：
因为点$A'$的位置为$(3,37^{\circ})$，点$B$的位置为$(3,74^{\circ})$，
所以$OA' = OB = 3$，$\angle A'OA = 37^{\circ}$，$\angle BOD = 74^{\circ}$（设射线$OX$另一侧辅助线为$OD$），
则$\angle A'OB=\angle BOD - \angle A'OA=74^{\circ}- 37^{\circ}=37^{\circ}$，
所以$\angle A'OA = \angle A'OB$。
在$\triangle A'OA$和$\triangle A'OB$中，
$\begin{cases}OA' = OA'\\\angle A'OA = \angle A'OB\\OA = OB\end{cases}$
根据全等三角形判定定理（$SAS$：两边及其夹角对应相等的三角形全等），
可得$\triangle A'OA\cong\triangle A'OB$，
所以$A'A = A'B$。