《2025年作业本江西教育出版社九年级数学全一册人教版》

8. 如图所示,已知二次函数 $ y= x^2+bx+c $ 的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,其中A(-2,0),C(0,-2).
(1)求二次函数的解析式.
(2)若P是二次函数图象上的一点,且点P在第二象限,线段PC交x轴于点D,△PDB的面积是△CDB面积的2倍,求点P的坐标.

答案： 【解析】：本题主要考查二次函数解析式的求解以及利用三角形面积关系求点的坐标。
（1）求二次函数的解析式：
已知二次函数$y = x^2 + bx + c$的图象过点$A(-2,0)$和$C(0,-2)$。
将点$A(-2,0)$代入$y = x^2 + bx + c$，可得：
$0 = (-2)^2 + b×(-2) + c$，即$4 - 2b + c = 0$ ①。
将点$C(0,-2)$代入$y = x^2 + bx + c$，可得：
$-2 = 0^2 + b×0 + c$，即$c = -2$ ②。
把$c = -2$代入①式，得$4 - 2b - 2 = 0$，
$2 - 2b = 0$，解得$b = 1$。
所以二次函数的解析式为$y = x^2 + x - 2$。
（2）求点$P$的坐标：
因为$\triangle PDB$的面积是$\triangle CDB$面积的$2$倍，且这两个三角形有相同的底$BD$，根据三角形面积公式$S = \frac{1}{2}ah$（$a$为底，$h$为高），可知点$P$到$x$轴的距离是点$C$到$x$轴距离的$2$倍。
已知$C(0,-2)$，则点$C$到$x$轴的距离为$2$，所以点$P$到$x$轴的距离为$2×2 = 4$，即点$P$的纵坐标为$4$。
设点$P$的坐标为$(m,4)$（$m\lt0$，因为点$P$在第二象限）。
把$P(m,4)$代入二次函数$y = x^2 + x - 2$，可得：
$4 = m^2 + m - 2$，
$m^2 + m - 6 = 0$，
因式分解得$(m + 3)(m - 2) = 0$，
则$m + 3 = 0$或$m - 2 = 0$，
解得$m = -3$或$m = 2$，
又因为$m\lt0$，所以$m = -3$。
故点$P$的坐标为$(-3,4)$。
【答案】：
(1) $y = x^2 + x - 2$；
(2) $(-3,4)$。

9. 已知抛物线l:$ y= ax^2-2ax+2(a≠0) $.
(1)抛物线l的对称轴为直线$x = 1$,无论a取不为零的任何值,抛物线l必过点$(0,2)$和点$(2,2)$.
(2)当抛物线l经过点(3,-1)时,求抛物线l的解析式,并说明点P(m,4)是否在抛物线l上. 如果在,求出m的值；如果不在,请说明理由.
抛物线的解析式为$y = -x^{2} + 2x + 2$；点$P(m,4)$不在抛物线上；理由：方程$m^{2} - 2m + 2 = 0$无实数解。
(3)在(2)的条件下,若将抛物线l先向右平移m个单位长度,再向下平移n个单位长度后,与抛物线 $ y= -(x-4)^2-1 $ 重合,直接写出m+n的值.
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答案： 【解析】：
本题主要考查二次函数的性质，包括对称轴，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象的平移等知识点。
(1) 对于抛物线$y = ax^{2} - 2ax + 2$，其对称轴为$x = -\frac{-2a}{2a} = 1$。
将$x = 0$代入得$y = 2$，将$x = 2$代入得$y = 2$，所以无论$a$取何值（不为0），抛物线必过点$(0,2)$和$(2,2)$。
(2) 将点$(3, -1)$代入$y = ax^{2} - 2ax + 2$，得到方程$-1 = 9a - 6a + 2$，解得$a = -1$。
所以抛物线的解析式为$y = -x^{2} + 2x + 2$。
将点$P(m,4)$代入得$4 = -m^{2} + 2m + 2$，
移项得：$m^{2} - 2m + 2 = 0$，
这是一个一元二次方程，其形式为$ax^2+bx+c=0$，其中$a=1, b=-2, c=2$，
判别式$\Delta = b^{2} - 4ac = (-2)^{2} - 4 × 1 × 2 = 4 - 8 = -4 ＜ 0$，
因为判别式小于0，所以方程无实数解，
所以点$P(m,4)$不在抛物线上。
(3) 抛物线$y = -x^{2} + 2x + 2$可以写为$y = -(x - 1)^{2} + 3$。
与抛物线$y = -(x - 4)^{2} - 1$比较，可以看出原抛物线需要向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度才能与目标抛物线重合。
所以$m = 3$，$n = 4$，则$m + n = 7$。
【答案】：
(1) $x = 1$；$(0,2)$；$(2,2)$
(2) 抛物线的解析式为$y = -x^{2} + 2x + 2$；点$P(m,4)$不在抛物线上；理由：方程$m^{2} - 2m + 2 = 0$无实数解。
(3) $m + n = 7$