《2025年作业本江西教育出版社九年级数学全一册人教版》

1. 如图所示,AB是半圆的直径,C,D是半圆上的两点.若∠ADC= 106°,则∠CAB等于(C)
A.32°
B.28°
C.16°
D.14°

答案： 解：连接BC。
∵AB是半圆直径，
∴∠ACB=90°。
∵A、B、C、D在半圆上，
∴∠ADC+∠ABC=180°（圆内接四边形对角互补）。
∵∠ADC=106°，
∴∠ABC=180°-106°=74°。
在Rt△ABC中，∠CAB=90°-∠ABC=90°-74°=16°。
答案：C

2. 若正六边形ABCDEF的面积为$6\sqrt{3}$,则正六边形的边长为(C)
A.1
B.$\sqrt{3}$
C.2
D.4

答案： 解：连接正六边形ABCDEF的中心O与各顶点，将正六边形分成6个全等的等边三角形。
设正六边形的边长为a，则每个等边三角形的边长为a。
等边三角形的面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$。
正六边形面积为$6×\frac{\sqrt{3}}{4}a^2=\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$。
已知正六边形面积为$6\sqrt{3}$，则$\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2=6\sqrt{3}$，
解得$a^2=4$，$a=2$（边长为正数）。
答案：C

3. 如图所示,以△ABC的边BC为直径的⊙O分别交AB,AC于点D,E,连接OD,OE.若∠A= 62°,则∠DOE= 56°.

答案： 1. 首先，根据三角形内角和定理：
在$\triangle ABC$中，已知$\angle A = 62^{\circ}$，根据三角形内角和$\angle A+\angle B+\angle C=180^{\circ}$，则$\angle B+\angle C=180^{\circ}-\angle A$。
把$\angle A = 62^{\circ}$代入可得$\angle B+\angle C=180 - 62=118^{\circ}$。
2. 然后，因为$OB = OD$，$OC = OE$（同圆半径相等）：
根据等腰三角形性质，$\angle B=\angle ODB$，$\angle C=\angle OEC$。
在$\triangle OBD$中，$\angle BOD = 180^{\circ}-2\angle B$；在$\triangle OCE$中，$\angle COE = 180^{\circ}-2\angle C$。
3. 接着，求$\angle BOD+\angle COE$的值：
$\angle BOD+\angle COE=(180^{\circ}-2\angle B)+(180^{\circ}-2\angle C)$。
展开式子得$\angle BOD+\angle COE = 360^{\circ}-2(\angle B+\angle C)$。
把$\angle B + \angle C=118^{\circ}$代入上式，可得$\angle BOD+\angle COE=360^{\circ}-2×118^{\circ}=360^{\circ}-236^{\circ}=124^{\circ}$。
4. 最后，求$\angle DOE$的值：
因为$\angle BOD+\angle DOE+\angle COE = 180^{\circ}$（平角定义）。
所以$\angle DOE=180^{\circ}-(\angle BOD+\angle COE)$。
把$\angle BOD+\angle COE = 124^{\circ}$代入得$\angle DOE = 180^{\circ}-124^{\circ}=56^{\circ}$。
故答案为$56^{\circ}$。

4. 如图所示,将半径为2的圆形纸片折叠后,圆弧恰好经过圆心O,则折痕AB的长为$2\sqrt{3}$.

答案： 【解析】：
本题考查了垂径定理和勾股定理的应用。
首先，作$OC \perp AB$于点C，并连接$OA$。
由于折叠后圆弧恰好经过圆心O，根据垂径定理，$OC$是$OA$的一半，即$OC = \frac{1}{2}OA = 1$（因为$OA$是半径，长度为2）。
接着，利用勾股定理在直角三角形$OAC$中，$AC=\sqrt{OA^2-OC^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，
由于$OC \perp AB$，根据垂径定理，$AB = 2AC = 2\sqrt{3}$。
【答案】：
$2\sqrt{3}$。

5. 如图所示,⊙O的半径为1,PT与⊙O相切于点T.若PT= $\sqrt{5}$,则点P到⊙O的最小距离是$\sqrt{6}-1$.

答案： 【解析】：本题可先根据切线的性质和勾股定理求出$OP$的长度，再结合点与圆的位置关系求出点$P$到$\odot O$的最小距离。
连接$OT$，因为$PT$与$\odot O$相切于点$T$，根据圆的切线性质可知$OT\perp PT$。
已知$\odot O$的半径$OT = 1$，$PT=\sqrt{5}$，在$Rt\triangle OPT$中，根据勾股定理$OP^{2}=OT^{2}+PT^{2}$，可求出$OP$的长度。
点$P$到$\odot O$的最小距离就是点$P$到圆心$O$的距离减去圆的半径。
【答案】：解：连接$OT$。
$\because PT$与$\odot O$相切于点$T$，
$\therefore OT\perp PT$。
在$Rt\triangle OPT$中，$OT = 1$，$PT=\sqrt{5}$，
根据勾股定理$OP=\sqrt{OT^{2}+PT^{2}}=\sqrt{1^{2}+(\sqrt{5})^{2}}=\sqrt{1 + 5}=\sqrt{6}$。
点$P$到$\odot O$的最小距离为$OP - OT=\sqrt{6}-1$。
故答案为$\sqrt{6}-1$。

6. 点A,B,C都在⊙O上,且CA= CB.若AB= 8,⊙O的半径为5,连接CO,求AC的长.

答案： 解：连接OA，设CO与AB交于点D。
∵CA=CB，
∴CO垂直平分AB，
∴AD=AB/2=4，∠ADC=90°。
设OD=x，则CD=|5-x|（O在CD上时CD=5-x，O在DC延长线上时CD=x-5）。
在Rt△AOD中，OA²=AD²+OD²，即5²=4²+x²，解得x=3（x=-3舍去）。
当O在CD上时，CD=5-3=2，
在Rt△ACD中，AC²=AD²+CD²=4²+2²=20，AC=2√5；
当O在DC延长线上时，CD=5+3=8，
在Rt△ACD中，AC²=AD²+CD²=4²+8²=80，AC=4√5。
综上，AC的长为2√5或4√5。

7. 如图所示,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,∠ADC= 2∠B,D是$\overset{\frown}{AC}$的中点.
(1)求∠B的大小.
(2)求证：四边形AOCD是菱形.

答案：
(1)解：
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC+∠B=180°，
∵∠ADC=2∠B，
∴2∠B+∠B=180°，
解得∠B=60°.
(2)证明：连接OD，
∵D是$\overset{\frown}{AC}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，
∴AD=CD，∠AOD=∠COD，
∵∠AOC=2∠B=120°，
∴∠AOD=∠COD=60°，
∵OA=OD=OC，
∴△AOD和△COD都是等边三角形，
∴OA=AD=CD=OC，
∴四边形AOCD是菱形.